Calcolo Esempi

$4 x \sqrt[3]{x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x}$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x \cdot x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 1.2

Moltiplica $x$ per $x^{\frac{1}{3}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.2.1

Sposta $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 (x^{\frac{1}{3}} x)]$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica $x^{\frac{1}{3}}$ per $x$ .

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Passaggio 1.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d}{d x} [4 (x^{\frac{1}{3}} x^{1})]$

Passaggio 1.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3} + 1}]$

Passaggio 1.2.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3} + \frac{3}{3}}]$

Passaggio 1.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1 + 3}{3}}]$

Passaggio 1.2.5

Somma $1$ e $3$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{4}{3}}]$

Passaggio 1.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{\frac{4}{3}}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{4}{3}$ .

$4 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1})$

Passaggio 1.5

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$4 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Passaggio 1.6

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$4 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 1.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 1.8

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.8.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$4 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}})$

Passaggio 1.8.2

Sottrai $3$ da $4$ .

$4 (\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 1.9

$\frac{4}{3}$ e $x^{\frac{1}{3}}$ .

$4 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 1.10

$4$ e $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{4 (4 x^{\frac{1}{3}})}{3}$

Passaggio 1.11

Moltiplica $4$ per $4$ .

$f' (x) = \frac{16 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Poiché $\frac{16}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{16 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{16}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{16}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{16}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Passaggio 2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Passaggio 2.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{16}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 2.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{16}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Passaggio 2.6.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$\frac{16}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Passaggio 2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{16}{3} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Passaggio 2.8

$\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{16}{3} \cdot \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Passaggio 2.9

Moltiplica $\frac{16}{3}$ per $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{16 x^{- \frac{2}{3}}}{3 \cdot 3}$

Passaggio 2.10

Moltiplica.

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Passaggio 2.10.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{16 x^{- \frac{2}{3}}}{9}$

Passaggio 2.10.2

Sposta $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{16}{9 x^{\frac{2}{3}}}$