Calcolo Esempi

$f (x) = 5 {(x - 3)}^{\frac{5}{3}}$

Passaggio 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 {(x - 3)}^{\frac{5}{3}}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{5}{3}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{5}{3}}]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{5}{3}}$ e $g (x) = x - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 3$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{5}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 3])$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{5}{3}$ .

$5 (\frac{5}{3} u^{\frac{5}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Passaggio 1.1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 3$ .

$5 (\frac{5}{3} {(x - 3)}^{\frac{5}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Passaggio 1.1.1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$5 (\frac{5}{3} {(x - 3)}^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Passaggio 1.1.1.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$5 (\frac{5}{3} {(x - 3)}^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Passaggio 1.1.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$5 (\frac{5}{3} {(x - 3)}^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Passaggio 1.1.1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$5 (\frac{5}{3} {(x - 3)}^{\frac{5 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Passaggio 1.1.1.6.2

Sottrai $3$ da $5$ .

$5 (\frac{5}{3} {(x - 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Passaggio 1.1.1.7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.7.1

$\frac{5}{3}$ e ${(x - 3)}^{\frac{2}{3}}$ .

$5 (\frac{5 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Passaggio 1.1.1.7.2

$\frac{5 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}}{3}$ e $5$ .

$\frac{5 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}} \cdot 5}{3} \frac{d}{d x} [x - 3]$

Passaggio 1.1.1.7.3

Moltiplica $5$ per $5$ .

$\frac{25 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 3]$

Passaggio 1.1.1.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{25 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}}{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 1.1.1.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{25 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}}{3} (1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 1.1.1.10

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{25 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}}{3} (1 + 0)$

Passaggio 1.1.1.11

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.11.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{25 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}}{3} \cdot 1$

Passaggio 1.1.1.11.2

Moltiplica $\frac{25 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}}{3}$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{25 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}}{3}$

Passaggio 1.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $\frac{25}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{25 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{25}{3} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{25}{3} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = x - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 3$ .

$\frac{25}{3} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 3])$

Passaggio 1.1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{25}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Passaggio 1.1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 3$ .

$\frac{25}{3} (\frac{2}{3} {(x - 3)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Passaggio 1.1.2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{25}{3} (\frac{2}{3} {(x - 3)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Passaggio 1.1.2.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{25}{3} (\frac{2}{3} {(x - 3)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Passaggio 1.1.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{25}{3} (\frac{2}{3} {(x - 3)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Passaggio 1.1.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{25}{3} (\frac{2}{3} {(x - 3)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Passaggio 1.1.2.6.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$\frac{25}{3} (\frac{2}{3} {(x - 3)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Passaggio 1.1.2.7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{25}{3} (\frac{2}{3} {(x - 3)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Passaggio 1.1.2.7.2

$\frac{2}{3}$ e ${(x - 3)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{25}{3} (\frac{2 {(x - 3)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Passaggio 1.1.2.7.3

Sposta ${(x - 3)}^{- \frac{1}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{25}{3} (\frac{2}{3 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Passaggio 1.1.2.7.4

Moltiplica $\frac{2}{3 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}}$ per $\frac{25}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 25}{3 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3} \frac{d}{d x} [x - 3]$

Passaggio 1.1.2.7.5

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.7.5.1

Moltiplica $2$ per $25$ .

$\frac{50}{3 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3} \frac{d}{d x} [x - 3]$

Passaggio 1.1.2.7.5.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{50}{9 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 3]$

Passaggio 1.1.2.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{50}{9 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 1.1.2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{50}{9 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 1.1.2.10

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{50}{9 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}} (1 + 0)$

Passaggio 1.1.2.11

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.11.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{50}{9 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1$

Passaggio 1.1.2.11.2

Moltiplica $\frac{50}{9 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{50}{9 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 1.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{50}{9 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{50}{9 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 1.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{50}{9 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{50}{9 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Passaggio 1.2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$50 = 0$

Passaggio 1.2.3

Poiché $50 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 2

Trova il dominio di $f (x) = 5 {(x - 3)}^{\frac{5}{3}}$ .

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Passaggio 2.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$5 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{5}}$

Passaggio 2.2

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 3

Il grafico è una funzione convessa perché la derivata seconda è positiva.

Il grafico è una funzione convessa

Passaggio 4