Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{x} - \ln (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{x} - \ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \ln (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$- x^{- 2} - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 1.1.3.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$- x^{- 2} - \frac{1}{x}$

Passaggio 1.1.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x}$

Passaggio 1.1.5

Riordina i termini.

$f' (x) = - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} = 0$

Passaggio 2.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x, x^{2}, 1$

Passaggio 2.2.2

Poiché $x, x^{2}, 1$ contiene sia numeri che variabili, ci sono due passaggi per trovare il minimo comune multiplo. Trova il minimo comune multiplo per la parte numerica $1, 1, 1$ , quindi trova il minimo comune multiplo per la parte variabile $x^{1}, x^{2}$ .

Passaggio 2.2.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 2.2.4

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 2.2.5

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 2.2.6

Il fattore di $x^{1}$ è $x$ stesso.

$x^{1} = x$

$x$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.2.7

I fattori di $x^{2}$ sono $x \cdot x$ , che corrisponde a $x$ moltiplicato per i fattori $2$ volte.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ si verifica $2$ volte.

Passaggio 2.2.8

Il minimo comune multiplo (mcm) di $x^{1}, x^{2}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$x \cdot x$

Passaggio 2.2.9

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2}$

Passaggio 2.3

Moltiplica per $x^{2}$ ciascun termine in $- \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} = 0$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} = 0$ per $x^{2}$ .

$- \frac{1}{x} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{x}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{x} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Passaggio 2.3.2.1.1.2

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{- 1}{x} (x \cdot x) - \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Passaggio 2.3.2.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{x} (x \cdot x) - \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Passaggio 2.3.2.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- x - \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{x^{2}}$ nel numeratore.

$- x + \frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Passaggio 2.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$- x + \frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Passaggio 2.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- x - 1 = 0 x^{2}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Moltiplica $0$ per $x^{2}$ .

$- x - 1 = 0$

Passaggio 2.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- x = 1$

Passaggio 2.4.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Passaggio 2.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{1}{- 1}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{- 1}$

Passaggio 2.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.3.1

Dividi $1$ per $- 1$ .

$x = - 1$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta il denominatore in $\frac{1}{x}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x = 0$

Passaggio 3.2

Imposta il denominatore in $\frac{1}{x^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} = 0$

Passaggio 3.3

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.3.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 3.3.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 3.3.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 4

Risolvi $\frac{1}{x} - \ln (x)$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = - 1$ .

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Passaggio 4.1.1

Sostituisci $- 1$ a $x$ .

$\frac{1}{- 1} - \ln (- 1)$

Passaggio 4.1.2

Il logaritmo naturale di un numero negativo è indefinito.

Indefinito

Passaggio 4.2

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$\frac{1}{0} - \ln (0)$

Passaggio 4.2.2

Il logaritmo naturale di zero è indefinito.

Indefinito

Passaggio 5

Non ci sono valori di $x$ nel dominio del problema originale per cui la derivata sia $0$ o indefinita.

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