Calcolo Esempi

$\frac{x^{2} - 3 x}{x + 1}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2} - 3 x$ e $g (x) = x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x] - (x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 3 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.3

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x]) - (x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 3 \cdot 1) - (x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.5

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.8

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.9

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.9.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(x + 1) (2 x - 3) - x^{2} - (- 3 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1.1

Espandi $(x + 1) (2 x - 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (2 x - 3) + 1 (2 x - 3) - x^{2} - (- 3 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 3 + 1 (2 x - 3) - x^{2} - (- 3 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 3 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1.2.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 3 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.2.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1.2.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 3 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.2.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 3 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.2.1.3

Sposta $- 3$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 \cdot x + 1 (2 x) + 1 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.2.1.4

Moltiplica $2 x$ per $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 x + 2 x + 1 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.2.1.5

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 x + 2 x - 3 - x^{2} - (- 3 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.2.2

Somma $- 3 x$ e $2 x$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 3 - x^{2} - (- 3 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.3

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 3 - x^{2} + 3 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.2

Sottrai $x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - x - 3 + 3 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.3

Somma $- x$ e $3 x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x - 3}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3

Scomponi $x^{2} + 2 x - 3$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 3$ e la cui somma è $2$ .

$- 1, 3$

Passaggio 1.3.3.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$f' (x) = \frac{(x - 1) (x + 3)}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$\frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 3)] - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{({(x + 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 1)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 3)] - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 3)] - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x - 1$ e $g (x) = x + 3$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} ((x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3] + (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} ((x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} ((x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [3]) + (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.4.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} ((x - 1) (1 + 0) + (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.4.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} ((x - 1) \cdot 1 + (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.4.4.2

Moltiplica $x - 1$ per $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} (x - 1 + (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 1]) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.4.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} (x - 1 + (x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.4.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} (x - 1 + (x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.4.7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} (x - 1 + (x + 3) (1 + 0)) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.4.8

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.8.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} (x - 1 + (x + 3) \cdot 1) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.4.8.2

Moltiplica $x + 3$ per $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} (x - 1 + x + 3) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.4.8.3

Somma $x$ e $x$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} (2 x - 1 + 3) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.4.8.4

Somma $- 1$ e $3$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} (2 x + 2) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} (2 x + 2) - (x - 1) (x + 3) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} (2 x + 2) - (x - 1) (x + 3) (2 u \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} (2 x + 2) - (x - 1) (x + 3) (2 (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.6

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} (2 x + 2) - 2 (x - 1) (x + 3) ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.6.2

Scomponi $x + 1$ da ${(x + 1)}^{2} (2 x + 2) - 2 (x - 1) (x + 3) ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1

Scomponi $x + 1$ da ${(x + 1)}^{2} (2 x + 2)$ .

$\frac{(x + 1) ((x + 1) (2 x + 2)) - 2 (x - 1) (x + 3) ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.6.2.2

Scomponi $x + 1$ da $- 2 (x - 1) (x + 3) ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$ .

$\frac{(x + 1) ((x + 1) (2 x + 2)) + (x + 1) (- 2 (x - 1) (x + 3) (\frac{d}{d x} [x + 1]))}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.6.2.3

Scomponi $x + 1$ da $(x + 1) ((x + 1) (2 x + 2)) + (x + 1) (- 2 (x - 1) (x + 3) (\frac{d}{d x} [x + 1]))$ .

$\frac{(x + 1) ((x + 1) (2 x + 2) - 2 (x - 1) (x + 3) (\frac{d}{d x} [x + 1]))}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.7

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Scomponi $x + 1$ da ${(x + 1)}^{4}$ .

$\frac{(x + 1) ((x + 1) (2 x + 2) - 2 (x - 1) (x + 3) (\frac{d}{d x} [x + 1]))}{(x + 1) {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.7.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x + 1) ((x + 1) (2 x + 2) - 2 (x - 1) (x + 3) (\frac{d}{d x} [x + 1]))}{(x + 1) {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.7.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(x + 1) (2 x + 2) - 2 (x - 1) (x + 3) (\frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + 2) - 2 (x - 1) (x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + 2) - 2 (x - 1) (x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.10

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + 2) - 2 (x - 1) (x + 3) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.11

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + 2) - 2 (x - 1) (x + 3) \cdot 1}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.11.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + 2) - 2 (x - 1) (x + 3)}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(x + 1) (2 x + 2) + (- 2 x - 2 \cdot - 1) (x + 3)}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.2.1.1

Espandi $(x + 1) (2 x + 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (2 x + 2) + 1 (2 x + 2) + (- 2 x - 2 \cdot - 1) (x + 3)}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 2 + 1 (2 x + 2) + (- 2 x - 2 \cdot - 1) (x + 3)}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 + (- 2 x - 2 \cdot - 1) (x + 3)}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.2.1.2.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 + (- 2 x - 2 \cdot - 1) (x + 3)}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.1.2.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.2.1.2.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 + (- 2 x - 2 \cdot - 1) (x + 3)}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.1.2.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 + (- 2 x - 2 \cdot - 1) (x + 3)}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.1.2.1.3

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot x + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 + (- 2 x - 2 \cdot - 1) (x + 3)}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.1.2.1.4

Moltiplica $2 x$ per $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 2 x + 1 \cdot 2 + (- 2 x - 2 \cdot - 1) (x + 3)}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.1.2.1.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 2 x + 2 + (- 2 x - 2 \cdot - 1) (x + 3)}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.1.2.2

Somma $2 x$ e $2 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 4 x + 2 + (- 2 x - 2 \cdot - 1) (x + 3)}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.1.3

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} + 4 x + 2 + (- 2 x + 2) (x + 3)}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.1.4

Espandi $(- 2 x + 2) (x + 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.2.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x (x + 3) + 2 (x + 3)}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.1.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 3 + 2 (x + 3)}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.1.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 3 + 2 x + 2 \cdot 3}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.1.5

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.2.1.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.2.1.5.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.2.1.5.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 3 + 2 x + 2 \cdot 3}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.1.5.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{2} - 2 x \cdot 3 + 2 x + 2 \cdot 3}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.1.5.1.2

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{2} - 6 x + 2 x + 2 \cdot 3}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.1.5.1.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{2} - 6 x + 2 x + 6}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.1.5.2

Somma $- 6 x$ e $2 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{2} - 4 x + 6}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.2

Combina i termini opposti in $2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{2} - 4 x + 6$ .

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Passaggio 2.12.2.2.1

Sottrai $2 x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{4 x + 2 + 0 - 4 x + 6}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.2.2

Somma $4 x + 2$ e $0$ .

$\frac{4 x + 2 - 4 x + 6}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.2.3

Sottrai $4 x$ da $4 x$ .

$\frac{0 + 2 + 6}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.2.4

Somma $0$ e $2$ .

$\frac{2 + 6}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.3

Somma $2$ e $6$ .

$f'' (x) = \frac{8}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 3.1.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{8}{{(x + 1)}^{3}}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{3}}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{3}}]$

Passaggio 3.1.2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 3.1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$ come ${({(x + 1)}^{3})}^{- 1}$ .

$8 \frac{d}{d x} [{({(x + 1)}^{3})}^{- 1}]$

Passaggio 3.1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 1)}^{3})}^{- 1}$ .

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Passaggio 3.1.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3 \cdot - 1}]$

Passaggio 3.1.2.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$8 \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{- 3}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 3}$ e $g (x) = x + 1$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 1$ .

$8 (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 3$ .

$8 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$8 (- 3 {(x + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 3.3

Differenzia.

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Passaggio 3.3.1

Moltiplica $- 3$ per $8$ .

$- 24 ({(x + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 3.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 24 {(x + 1)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 24 {(x + 1)}^{- 4} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 3.3.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 24 {(x + 1)}^{- 4} (1 + 0)$

Passaggio 3.3.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.3.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$- 24 {(x + 1)}^{- 4} \cdot 1$

Passaggio 3.3.5.2

Moltiplica $- 24$ per $1$ .

$- 24 {(x + 1)}^{- 4}$

Passaggio 3.4

Semplifica.

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Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 24 \frac{1}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.4.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.4.2.1

$- 24$ e $\frac{1}{{(x + 1)}^{4}}$ .

$\frac{- 24}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f''' (x) = - \frac{24}{{(x + 1)}^{4}}$