Calcolo Esempi

$f (x) = (11 - x) {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Riscrivi ${(x + 1)}^{2}$ come $(x + 1) (x + 1)$ .

$\frac{d}{d x} [(11 - x) ((x + 1) (x + 1))]$

Passaggio 1.1.2

Espandi $(x + 1) (x + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [(11 - x) (x (x + 1) + 1 (x + 1))]$

Passaggio 1.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [(11 - x) (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1))]$

Passaggio 1.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [(11 - x) (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)]$

Passaggio 1.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{d}{d x} [(11 - x) (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)]$

Passaggio 1.1.3.1.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{d}{d x} [(11 - x) (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1)]$

Passaggio 1.1.3.1.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{d}{d x} [(11 - x) (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1)]$

Passaggio 1.1.3.1.4

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{d}{d x} [(11 - x) (x^{2} + x + x + 1)]$

Passaggio 1.1.3.2

Somma $x$ e $x$ .

$\frac{d}{d x} [(11 - x) (x^{2} + 2 x + 1)]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 11 - x$ e $g (x) = x^{2} + 2 x + 1$ .

$(11 - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1] + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [11 - x]$

Passaggio 1.1.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 2 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(11 - x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [11 - x]$

Passaggio 1.1.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$(11 - x) (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [11 - x]$

Passaggio 1.1.5.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(11 - x) (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [11 - x]$

Passaggio 1.1.5.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(11 - x) (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [11 - x]$

Passaggio 1.1.5.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$(11 - x) (2 x + 2 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [11 - x]$

Passaggio 1.1.5.6

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(11 - x) (2 x + 2 + 0) + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [11 - x]$

Passaggio 1.1.5.7

Somma $2 x + 2$ e $0$ .

$(11 - x) (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [11 - x]$

Passaggio 1.1.5.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $11 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [11] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$(11 - x) (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x + 1) (\frac{d}{d x} [11] + \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 1.1.5.9

Poiché $11$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $11$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(11 - x) (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x + 1) (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 1.1.5.10

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$(11 - x) (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.1.5.11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(11 - x) (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x + 1) (- \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.5.12

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(11 - x) (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x + 1) (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 1.1.5.13

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.13.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$(11 - x) (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x + 1) \cdot - 1$

Passaggio 1.1.5.13.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x^{2} + 2 x + 1$ .

$(11 - x) (2 x + 2) - 1 \cdot (x^{2} + 2 x + 1)$

Passaggio 1.1.5.13.3

Riscrivi $- 1 (x^{2} + 2 x + 1)$ come $- (x^{2} + 2 x + 1)$ .

$(11 - x) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x + 1)$

Passaggio 1.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$(11 - x) (2 x + 2) - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Passaggio 1.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$(11 - x) (2 x) + (11 - x) \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Passaggio 1.1.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$11 (2 x) - x (2 x) + (11 - x) \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Passaggio 1.1.6.4

Applica la proprietà distributiva.

$11 (2 x) - x (2 x) + 11 \cdot 2 - x \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Passaggio 1.1.6.5

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.5.1

Moltiplica $2$ per $11$ .

$22 x - x (2 x) + 11 \cdot 2 - x \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Passaggio 1.1.6.5.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$22 x - 2 x \cdot x + 11 \cdot 2 - x \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Passaggio 1.1.6.5.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$22 x - 2 (x^{1} x) + 11 \cdot 2 - x \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Passaggio 1.1.6.5.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$22 x - 2 (x^{1} x^{1}) + 11 \cdot 2 - x \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Passaggio 1.1.6.5.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$22 x - 2 x^{1 + 1} + 11 \cdot 2 - x \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Passaggio 1.1.6.5.6

Somma $1$ e $1$ .

$22 x - 2 x^{2} + 11 \cdot 2 - x \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Passaggio 1.1.6.5.7

Moltiplica $11$ per $2$ .

$22 x - 2 x^{2} + 22 - x \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Passaggio 1.1.6.5.8

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$22 x - 2 x^{2} + 22 - 2 x - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Passaggio 1.1.6.5.9

Sottrai $2 x$ da $22 x$ .

$20 x - 2 x^{2} + 22 - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Passaggio 1.1.6.5.10

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$20 x - 2 x^{2} + 22 - x^{2} - 2 x - 1 \cdot 1$

Passaggio 1.1.6.5.11

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$20 x - 2 x^{2} + 22 - x^{2} - 2 x - 1$

Passaggio 1.1.6.5.12

Sottrai $x^{2}$ da $- 2 x^{2}$ .

$20 x - 3 x^{2} + 22 - 2 x - 1$

Passaggio 1.1.6.5.13

Sottrai $2 x$ da $20 x$ .

$18 x - 3 x^{2} + 22 - 1$

Passaggio 1.1.6.5.14

Sottrai $1$ da $22$ .

$18 x - 3 x^{2} + 21$

Passaggio 1.1.6.6

Riordina i termini.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 18 x + 21$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 3 x^{2} + 18 x + 21$ .

$- 3 x^{2} + 18 x + 21$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 3 x^{2} + 18 x + 21 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 3 x^{2} + 18 x + 21 = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $- 3$ da $- 3 x^{2} + 18 x + 21$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $- 3$ da $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 18 x + 21 = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $- 3$ da $18 x$ .

$- 3 x^{2} - 3 (- 6 x) + 21 = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Scomponi $- 3$ da $21$ .

$- 3 x^{2} - 3 (- 6 x) - 3 \cdot - 7 = 0$

Passaggio 2.2.1.4

Scomponi $- 3$ da $- 3 (x^{2}) - 3 (- 6 x)$ .

$- 3 (x^{2} - 6 x) - 3 \cdot - 7 = 0$

Passaggio 2.2.1.5

Scomponi $- 3$ da $- 3 (x^{2} - 6 x) - 3 (- 7)$ .

$- 3 (x^{2} - 6 x - 7) = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Scomponi $x^{2} - 6 x - 7$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 7$ e la cui somma è $- 6$ .

$- 7, 1$

Passaggio 2.2.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$- 3 ((x - 7) (x + 1)) = 0$

Passaggio 2.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- 3 (x - 7) (x + 1) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 7 = 0$

$x + 1 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x - 7$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $x - 7$ uguale a $0$ .

$x - 7 = 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $7$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 7$

Passaggio 2.5

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 2.5.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- 3 (x - 7) (x + 1) = 0$ vera.

$x = 7, - 1$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $(11 - x) {(x + 1)}^{2}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $7$ a $x$ .

$(11 - (7)) {((7) + 1)}^{2}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$(11 - 7) {((7) + 1)}^{2}$

Passaggio 4.1.2.2

Sottrai $7$ da $11$ .

$4 {((7) + 1)}^{2}$

Passaggio 4.1.2.3

Somma $7$ e $1$ .

$4 \cdot 8^{2}$

Passaggio 4.1.2.4

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$4 \cdot 64$

Passaggio 4.1.2.5

Moltiplica $4$ per $64$ .

$256$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $- 1$ a $x$ .

$(11 - (- 1)) {((- 1) + 1)}^{2}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$(11 + 1) {((- 1) + 1)}^{2}$

Passaggio 4.2.2.2

Somma $11$ e $1$ .

$12 {((- 1) + 1)}^{2}$

Passaggio 4.2.2.3

Somma $- 1$ e $1$ .

$12 \cdot 0^{2}$

Passaggio 4.2.2.4

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$12 \cdot 0$

Passaggio 4.2.2.5

Moltiplica $12$ per $0$ .

$0$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(7, 256), (- 1, 0)$

Passaggio 5