Calcolo Esempi

$y = \frac{e^{x}}{x}$ , $(1, e)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 1$ e $y = e$ per trovare il coefficiente angolare della linea tangente.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola di potenza.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x} \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}}$

Passaggio 1.4

Semplifica.

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Passaggio 1.4.1

Riordina i termini.

$\frac{e^{x} x - e^{x}}{x^{2}}$

Passaggio 1.4.2

Scomponi $e^{x}$ da $e^{x} x - e^{x}$ .

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Passaggio 1.4.2.1

Scomponi $e^{x}$ da $e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (x) - e^{x}}{x^{2}}$

Passaggio 1.4.2.2

Scomponi $e^{x}$ da $- e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1}{x^{2}}$

Passaggio 1.4.2.3

Scomponi $e^{x}$ da $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1$ .

$\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$

Passaggio 1.5

Calcola la derivata per $x = 1$ .

$\frac{e^{1} ((1) - 1)}{{(1)}^{2}}$

Passaggio 1.6

Semplifica.

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Passaggio 1.6.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.6.1.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{e^{1} \cdot 0}{1^{2}}$

Passaggio 1.6.1.2

Semplifica.

$\frac{e \cdot 0}{1^{2}}$

Passaggio 1.6.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.6.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{e \cdot 0}{1}$

Passaggio 1.6.2.2

Moltiplica $e$ per $0$ .

$\frac{0}{1}$

Passaggio 1.6.2.3

Dividi $0$ per $1$ .

$0$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula di punto-pendenza e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Usa il coefficiente angolare $0$ e un punto dato $(1, e)$ da inserire al posto di $x_{1}$ e $y_{1}$ nell'equazione della retta passante per due punti $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione della pendenza $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (e) = 0 \cdot (x - (1))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila in forma di punto-pendenza.

$y - e = 0 \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Moltiplica $0$ per $x - 1$ .

$y - e = 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $e$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = e$

Passaggio 3