Calcolo Esempi

$y + \sqrt{x y} = 6$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x y}$ come ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y + {(x y)}^{\frac{1}{2}} = 6$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y + {(x y)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (6)$

Passaggio 3

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $y + {(x y)}^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [{(x y)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [{(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$y' + \frac{d}{d x} [{(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [{(x y)}^{\frac{1}{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x y$ .

$y' + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 3.3.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$y' + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 3.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x y$ .

$y' + \frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$y' + \frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$y' + \frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1} (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$y' + \frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1} (x y' + y \cdot 1)$

Passaggio 3.3.5

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y' + \frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (x y' + y \cdot 1)$

Passaggio 3.3.6

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$y' + \frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (x y' + y \cdot 1)$

Passaggio 3.3.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' + \frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (x y' + y \cdot 1)$

Passaggio 3.3.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.8.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$y' + \frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 2}{2}} (x y' + y \cdot 1)$

Passaggio 3.3.8.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$y' + \frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{- 1}{2}} (x y' + y \cdot 1)$

Passaggio 3.3.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' + \frac{1}{2} {(x y)}^{- \frac{1}{2}} (x y' + y \cdot 1)$

Passaggio 3.3.10

Moltiplica $y$ per $1$ .

$y' + \frac{1}{2} {(x y)}^{- \frac{1}{2}} (x y' + y)$

Passaggio 3.3.11

$\frac{1}{2}$ e ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$y' + \frac{{(x y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (x y' + y)$

Passaggio 3.3.12

Sposta ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' + \frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} (x y' + y)$

Passaggio 3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Applica la regola del prodotto a $x y$ .

$y' + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} (x y' + y)$

Passaggio 3.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$y' + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} (x y') + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} y$

Passaggio 3.4.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

$x$ e $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}$ .

$y' + \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}} y' + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} y$

Passaggio 3.4.3.2

$\frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}$ e $y'$ .

$y' + \frac{x y'}{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} y$

Passaggio 3.4.3.3

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$y' + \frac{x y' x^{- \frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} y$

Passaggio 3.4.3.4

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.4.1

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$y' + \frac{x^{- \frac{1}{2}} x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} y$

Passaggio 3.4.3.4.2

Moltiplica $x^{- \frac{1}{2}}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y' + \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{1} y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} y$

Passaggio 3.4.3.4.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y' + \frac{x^{- \frac{1}{2} + 1} y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} y$

Passaggio 3.4.3.4.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$y' + \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} y$

Passaggio 3.4.3.4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' + \frac{x^{\frac{- 1 + 2}{2}} y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} y$

Passaggio 3.4.3.4.5

Somma $- 1$ e $2$ .

$y' + \frac{x^{\frac{1}{2}} y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} y$

Passaggio 3.4.3.5

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}$ e $y$ .

$y' + \frac{x^{\frac{1}{2}} y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.4.3.6

Sposta $y^{\frac{1}{2}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$y' + \frac{x^{\frac{1}{2}} y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y \cdot y^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.4.3.7

Moltiplica $y$ per $y^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.7.1

Moltiplica $y$ per $y^{- \frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.7.1.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$y' + \frac{x^{\frac{1}{2}} y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{1} y^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.4.3.7.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y' + \frac{x^{\frac{1}{2}} y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{1 - \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.4.3.7.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$y' + \frac{x^{\frac{1}{2}} y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.4.3.7.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' + \frac{x^{\frac{1}{2}} y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{\frac{2 - 1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.4.3.7.4

Sottrai $1$ da $2$ .

$y' + \frac{x^{\frac{1}{2}} y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' + \frac{x^{\frac{1}{2}} y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 6

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$1, 2 y^{\frac{1}{2}}, 2 x^{\frac{1}{2}}, 1$

Passaggio 6.1.2

Since $1, 2 y^{\frac{1}{2}}, 2 x^{\frac{1}{2}}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 2, 2, 1$ then find LCM for the variable part $y^{\frac{1}{2}}, x^{\frac{1}{2}}$ .

Passaggio 6.1.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 6.1.4

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 6.1.5

Poiché $2$ non presenta fattori eccetto $1$ e $2$ .

$2$ è un numero primo

Passaggio 6.1.6

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 6.1.7

Il minimo comune multiplo di $1, 2, 2, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$2$

Passaggio 6.1.8

Il minimo comune multiplo (mcm) di $y^{\frac{1}{2}}, x^{\frac{1}{2}}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.1.9

Il minimo comune multiplo di $1, 2 y^{\frac{1}{2}}, 2 x^{\frac{1}{2}}, 1$ è la parte numerica $2$ moltiplicata per la parte variabile.

$2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.2

Moltiplica per $2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ ciascun termine in $y' + \frac{x^{\frac{1}{2}} y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Moltiplica ogni termine in $y' + \frac{x^{\frac{1}{2}} y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$ per $2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$y' (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{x^{\frac{1}{2}} y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 y' y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.2.1.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 y' y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 2 \frac{x^{\frac{1}{2}} y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.2.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 6.2.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$2 y' y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} y'}{y^{\frac{1}{2}}} (y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.2.1.4

Elimina il fattore comune di $y^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.4.1

Scomponi $y^{\frac{1}{2}}$ da $y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y' y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} y'}{y^{\frac{1}{2}}} (y^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}})) + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

Passaggio 6.2.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$2 y' y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} y' x^{\frac{1}{2}} + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.2.1.5

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $x^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.5.1

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y' y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} y' + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.2.1.5.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 y' y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} y' + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.2.1.5.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 y' y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1 + 1}{2}} y' + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.2.1.5.4

Somma $1$ e $1$ .

$2 y' y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{2}{2}} y' + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.2.1.5.5

Dividi $2$ per $2$ .

$2 y' y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{1} y' + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.2.1.6

Semplifica $x^{1} y'$ .

$2 y' y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x y' + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.2.1.7

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 y' y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x y' + 2 \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} (y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.2.1.8

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.8.1

Elimina il fattore comune.

$2 y' y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x y' + 2 \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} (y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.2.1.8.2

Riscrivi l'espressione.

$2 y' y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x y' + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} (y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.2.1.9

Elimina il fattore comune di $x^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.9.1

Scomponi $x^{\frac{1}{2}}$ da $y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y' y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x y' + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.2.1.9.2

Elimina il fattore comune.

$2 y' y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x y' + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.2.1.9.3

Riscrivi l'espressione.

$2 y' y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x y' + y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.2.1.10

Moltiplica $y^{\frac{1}{2}}$ per $y^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.10.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 y' y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x y' + y^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.2.1.10.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 y' y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x y' + y^{\frac{1 + 1}{2}} = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.2.1.10.3

Somma $1$ e $1$ .

$2 y' y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x y' + y^{\frac{2}{2}} = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.2.1.10.4

Dividi $2$ per $2$ .

$2 y' y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x y' + y^{1} = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.2.1.11

Semplifica $y^{1}$ .

$2 y' y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x y' + y = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Moltiplica $0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$2 y' y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x y' + y = 0 (y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.3.1.2

Moltiplica $y^{\frac{1}{2}}$ per $0$ .

$2 y' y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x y' + y = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.2.3.1.3

Moltiplica $0$ per $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y' y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x y' + y = 0$

Passaggio 6.3

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 y' y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x y' = - y$

Passaggio 6.3.2

Scomponi $y' x^{\frac{1}{2}}$ da $2 y' y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Riordina l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Sposta $y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y' x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} + x y' = - y$

Passaggio 6.3.2.1.2

Riordina $x$ e $y'$ .

$2 y' x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} + y' x = - y$

Passaggio 6.3.2.2

Scomponi $y' x^{\frac{1}{2}}$ da $2 y' x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$ .

$y' x^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}}) + y' x = - y$

Passaggio 6.3.2.3

Scomponi $y' x^{\frac{1}{2}}$ da $y' x$ .

$y' x^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}}) + y' x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} = - y$

Passaggio 6.3.2.4

Scomponi $y' x^{\frac{1}{2}}$ da $y' x^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}}) + y' x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$y' x^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}}) = - y$

Passaggio 6.3.3

Dividi per $x^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}})$ ciascun termine in $y' x^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}}) = - y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Dividi per $x^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}})$ ciascun termine in $y' x^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}}) = - y$ .

$\frac{y' x^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}})} = \frac{- y}{x^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 6.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' x^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}})} = \frac{- y}{x^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 6.3.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (2 y^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}})}{2 y^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}}} = \frac{- y}{x^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 6.3.3.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (2 y^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}})}{2 y^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}}} = \frac{- y}{x^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 6.3.3.2.4

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- y}{x^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 6.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y}{x^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 7

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}})}$