Calcolo Esempi

$p = \frac{\cos (q) - \sin (q)}{\cos (q)}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d q} (p) = \frac{d}{d q} (\frac{\cos (q) - \sin (q)}{\cos (q)})$

Passaggio 2

La derivata di $p$ rispetto a $q$ è $p'$ .

$p'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d q} [\frac{f (q)}{g (q)}]$ è $\frac{g (q) \frac{d}{d q} [f (q)] - f (q) \frac{d}{d q} [g (q)]}{{g (q)}^{2}}$ dove $f (q) = \cos (q) - \sin (q)$ e $g (q) = \cos (q)$ .

$\frac{\cos (q) \frac{d}{d q} [\cos (q) - \sin (q)] - (\cos (q) - \sin (q)) \frac{d}{d q} [\cos (q)]}{\cos^{2} (q)}$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\cos (q) - \sin (q)$ rispetto a $q$ è $\frac{d}{d q} [\cos (q)] + \frac{d}{d q} [- \sin (q)]$ .

$\frac{\cos (q) (\frac{d}{d q} [\cos (q)] + \frac{d}{d q} [- \sin (q)]) - (\cos (q) - \sin (q)) \frac{d}{d q} [\cos (q)]}{\cos^{2} (q)}$

Passaggio 3.3

La derivata di $\cos (q)$ rispetto a $q$ è $- \sin (q)$ .

$\frac{\cos (q) (- \sin (q) + \frac{d}{d q} [- \sin (q)]) - (\cos (q) - \sin (q)) \frac{d}{d q} [\cos (q)]}{\cos^{2} (q)}$

Passaggio 3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $q$ , la derivata di $- \sin (q)$ rispetto a $q$ è $- \frac{d}{d q} [\sin (q)]$ .

$\frac{\cos (q) (- \sin (q) - \frac{d}{d q} [\sin (q)]) - (\cos (q) - \sin (q)) \frac{d}{d q} [\cos (q)]}{\cos^{2} (q)}$

Passaggio 3.5

La derivata di $\sin (q)$ rispetto a $q$ è $\cos (q)$ .

$\frac{\cos (q) (- \sin (q) - \cos (q)) - (\cos (q) - \sin (q)) \frac{d}{d q} [\cos (q)]}{\cos^{2} (q)}$

Passaggio 3.6

La derivata di $\cos (q)$ rispetto a $q$ è $- \sin (q)$ .

$\frac{\cos (q) (- \sin (q) - \cos (q)) - (\cos (q) - \sin (q)) (- \sin (q))}{\cos^{2} (q)}$

Passaggio 3.7

Moltiplica.

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Passaggio 3.7.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{\cos (q) (- \sin (q) - \cos (q)) + 1 (\cos (q) - \sin (q)) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Passaggio 3.7.2

Moltiplica $\cos (q) - \sin (q)$ per $1$ .

$\frac{\cos (q) (- \sin (q) - \cos (q)) + (\cos (q) - \sin (q)) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Passaggio 3.8

Semplifica.

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Passaggio 3.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\cos (q) (- \sin (q)) + \cos (q) (- \cos (q)) + (\cos (q) - \sin (q)) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Passaggio 3.8.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\cos (q) (- \sin (q)) + \cos (q) (- \cos (q)) + \cos (q) \sin (q) - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Passaggio 3.8.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.8.3.1

Combina i termini opposti in $\cos (q) (- \sin (q)) + \cos (q) (- \cos (q)) + \cos (q) \sin (q) - \sin (q) \sin (q)$ .

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Passaggio 3.8.3.1.1

Riordina i fattori nei termini di $\cos (q) (- \sin (q))$ e $\cos (q) \sin (q)$ .

$\frac{- \cos (q) \sin (q) + \cos (q) (- \cos (q)) + \cos (q) \sin (q) - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Passaggio 3.8.3.1.2

Somma $- \cos (q) \sin (q)$ e $\cos (q) \sin (q)$ .

$\frac{\cos (q) (- \cos (q)) + 0 - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Passaggio 3.8.3.1.3

Somma $\cos (q) (- \cos (q))$ e $0$ .

$\frac{\cos (q) (- \cos (q)) - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Passaggio 3.8.3.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.8.3.2.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{- \cos (q) \cos (q) - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Passaggio 3.8.3.2.2

Moltiplica $- \cos (q) \cos (q)$ .

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Passaggio 3.8.3.2.2.1

Eleva $\cos (q)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- (\cos^{1} (q) \cos (q)) - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Passaggio 3.8.3.2.2.2

Eleva $\cos (q)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- (\cos^{1} (q) \cos^{1} (q)) - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Passaggio 3.8.3.2.2.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- {\cos (q)}^{1 + 1} - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Passaggio 3.8.3.2.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- \cos^{2} (q) - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Passaggio 3.8.3.2.3

Moltiplica $- \sin (q) \sin (q)$ .

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Passaggio 3.8.3.2.3.1

Eleva $\sin (q)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- \cos^{2} (q) - (\sin^{1} (q) \sin (q))}{\cos^{2} (q)}$

Passaggio 3.8.3.2.3.2

Eleva $\sin (q)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- \cos^{2} (q) - (\sin^{1} (q) \sin^{1} (q))}{\cos^{2} (q)}$

Passaggio 3.8.3.2.3.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- \cos^{2} (q) - {\sin (q)}^{1 + 1}}{\cos^{2} (q)}$

Passaggio 3.8.3.2.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- \cos^{2} (q) - \sin^{2} (q)}{\cos^{2} (q)}$

Passaggio 3.8.3.3

Scomponi $- 1$ da $- \cos^{2} (q)$ .

$\frac{- (\cos^{2} (q)) - \sin^{2} (q)}{\cos^{2} (q)}$

Passaggio 3.8.3.4

Scomponi $- 1$ da $- \sin^{2} (q)$ .

$\frac{- (\cos^{2} (q)) - (\sin^{2} (q))}{\cos^{2} (q)}$

Passaggio 3.8.3.5

Scomponi $- 1$ da $- (\cos^{2} (q)) - (\sin^{2} (q))$ .

$\frac{- (\cos^{2} (q) + \sin^{2} (q))}{\cos^{2} (q)}$

Passaggio 3.8.3.6

Rimetti in ordine i termini.

$\frac{- (\sin^{2} (q) + \cos^{2} (q))}{\cos^{2} (q)}$

Passaggio 3.8.3.7

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{- 1 \cdot 1}{\cos^{2} (q)}$

Passaggio 3.8.3.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{- 1}{\cos^{2} (q)}$

Passaggio 3.8.4

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.8.4.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{\cos^{2} (q)}$

Passaggio 3.8.4.2

Converti da $\frac{1}{\cos^{2} (q)}$ a $\sec^{2} (q)$ .

$- \sec^{2} (q)$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$p' = - \sec^{2} (q)$

Passaggio 5

Sostituisci $p'$ con $\frac{d p}{d q}$ .

$\frac{d p}{d q} = - \sec^{2} (q)$