Calcolo Esempi

$f (x) = 12 x {(2 x^{2} - 3)}^{2}$

Passaggio 1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x {(2 x^{2} - 3)}^{2}$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x {(2 x^{2} - 3)}^{2}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x {(2 x^{2} - 3)}^{2}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(2 x^{2} - 3)}^{2}$ .

$12 (x \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - 3)}^{2}] + {(2 x^{2} - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 2 x^{2} - 3$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x^{2} - 3$ .

$12 (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 3]) + {(2 x^{2} - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$12 (x (2 u \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 3]) + {(2 x^{2} - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x^{2} - 3$ .

$12 (x (2 (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 3]) + {(2 x^{2} - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{2} - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$12 (x (2 (2 x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])) + {(2 x^{2} - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 (x (2 (2 x^{2} - 3) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])) + {(2 x^{2} - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$12 (x (2 (2 x^{2} - 3) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3])) + {(2 x^{2} - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$12 (x (2 (2 x^{2} - 3) (4 x + \frac{d}{d x} [- 3])) + {(2 x^{2} - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.5

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$12 (x (2 (2 x^{2} - 3) (4 x + 0)) + {(2 x^{2} - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.6.1

Somma $4 x$ e $0$ .

$12 (x (2 (2 x^{2} - 3) (4 x)) + {(2 x^{2} - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.6.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$12 (x (8 (2 x^{2} - 3) x) + {(2 x^{2} - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$12 (x^{1} x (8 (2 x^{2} - 3)) + {(2 x^{2} - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$12 (x^{1} x^{1} (8 (2 x^{2} - 3)) + {(2 x^{2} - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$12 (x^{1 + 1} (8 (2 x^{2} - 3)) + {(2 x^{2} - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 8

Somma $1$ e $1$ .

$12 (x^{2} (8 (2 x^{2} - 3)) + {(2 x^{2} - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$12 (x^{2} (8 (2 x^{2} - 3)) + {(2 x^{2} - 3)}^{2} \cdot 1)$

Passaggio 10

Moltiplica ${(2 x^{2} - 3)}^{2}$ per $1$ .

$12 (x^{2} (8 (2 x^{2} - 3)) + {(2 x^{2} - 3)}^{2})$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Applica la proprietà distributiva.

$12 (x^{2} (8 (2 x^{2}) + 8 \cdot - 3) + {(2 x^{2} - 3)}^{2})$

Passaggio 11.2

Applica la proprietà distributiva.

$12 (x^{2} (8 (2 x^{2})) + x^{2} (8 \cdot - 3) + {(2 x^{2} - 3)}^{2})$

Passaggio 11.3

Applica la proprietà distributiva.

$12 (x^{2} (8 (2 x^{2}))) + 12 (x^{2} (8 \cdot - 3)) + 12 {(2 x^{2} - 3)}^{2}$

Passaggio 11.4

Raccogli i termini.

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Passaggio 11.4.1

Moltiplica $2$ per $8$ .

$12 (x^{2} (16 x^{2})) + 12 (x^{2} (8 \cdot - 3)) + 12 {(2 x^{2} - 3)}^{2}$

Passaggio 11.4.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 11.4.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$12 (x^{2} x^{2} \cdot 16) + 12 (x^{2} (8 \cdot - 3)) + 12 {(2 x^{2} - 3)}^{2}$

Passaggio 11.4.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$12 (x^{2 + 2} \cdot 16) + 12 (x^{2} (8 \cdot - 3)) + 12 {(2 x^{2} - 3)}^{2}$

Passaggio 11.4.2.3

Somma $2$ e $2$ .

$12 (x^{4} \cdot 16) + 12 (x^{2} (8 \cdot - 3)) + 12 {(2 x^{2} - 3)}^{2}$

Passaggio 11.4.3

Sposta $16$ alla sinistra di $x^{4}$ .

$12 (16 \cdot x^{4}) + 12 (x^{2} (8 \cdot - 3)) + 12 {(2 x^{2} - 3)}^{2}$

Passaggio 11.4.4

Moltiplica $16$ per $12$ .

$192 x^{4} + 12 (x^{2} (8 \cdot - 3)) + 12 {(2 x^{2} - 3)}^{2}$

Passaggio 11.4.5

Moltiplica $8$ per $- 3$ .

$192 x^{4} + 12 (x^{2} \cdot - 24) + 12 {(2 x^{2} - 3)}^{2}$

Passaggio 11.4.6

Sposta $- 24$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$192 x^{4} + 12 (- 24 \cdot x^{2}) + 12 {(2 x^{2} - 3)}^{2}$

Passaggio 11.4.7

Moltiplica $- 24$ per $12$ .

$192 x^{4} - 288 x^{2} + 12 {(2 x^{2} - 3)}^{2}$

Passaggio 11.5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 11.5.1

Riscrivi ${(2 x^{2} - 3)}^{2}$ come $(2 x^{2} - 3) (2 x^{2} - 3)$ .

$192 x^{4} - 288 x^{2} + 12 ((2 x^{2} - 3) (2 x^{2} - 3))$

Passaggio 11.5.2

Espandi $(2 x^{2} - 3) (2 x^{2} - 3)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 11.5.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$192 x^{4} - 288 x^{2} + 12 (2 x^{2} (2 x^{2} - 3) - 3 (2 x^{2} - 3))$

Passaggio 11.5.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$192 x^{4} - 288 x^{2} + 12 (2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 3 - 3 (2 x^{2} - 3))$

Passaggio 11.5.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$192 x^{4} - 288 x^{2} + 12 (2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 3 - 3 (2 x^{2}) - 3 \cdot - 3)$

Passaggio 11.5.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 11.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 11.5.3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$192 x^{4} - 288 x^{2} + 12 (2 \cdot 2 x^{2} x^{2} + 2 x^{2} \cdot - 3 - 3 (2 x^{2}) - 3 \cdot - 3)$

Passaggio 11.5.3.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 11.5.3.1.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$192 x^{4} - 288 x^{2} + 12 (2 \cdot 2 (x^{2} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 3 - 3 (2 x^{2}) - 3 \cdot - 3)$

Passaggio 11.5.3.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$192 x^{4} - 288 x^{2} + 12 (2 \cdot 2 x^{2 + 2} + 2 x^{2} \cdot - 3 - 3 (2 x^{2}) - 3 \cdot - 3)$

Passaggio 11.5.3.1.2.3

Somma $2$ e $2$ .

$192 x^{4} - 288 x^{2} + 12 (2 \cdot 2 x^{4} + 2 x^{2} \cdot - 3 - 3 (2 x^{2}) - 3 \cdot - 3)$

Passaggio 11.5.3.1.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$192 x^{4} - 288 x^{2} + 12 (4 x^{4} + 2 x^{2} \cdot - 3 - 3 (2 x^{2}) - 3 \cdot - 3)$

Passaggio 11.5.3.1.4

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$192 x^{4} - 288 x^{2} + 12 (4 x^{4} - 6 x^{2} - 3 (2 x^{2}) - 3 \cdot - 3)$

Passaggio 11.5.3.1.5

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$192 x^{4} - 288 x^{2} + 12 (4 x^{4} - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 3 \cdot - 3)$

Passaggio 11.5.3.1.6

Moltiplica $- 3$ per $- 3$ .

$192 x^{4} - 288 x^{2} + 12 (4 x^{4} - 6 x^{2} - 6 x^{2} + 9)$

Passaggio 11.5.3.2

Sottrai $6 x^{2}$ da $- 6 x^{2}$ .

$192 x^{4} - 288 x^{2} + 12 (4 x^{4} - 12 x^{2} + 9)$

Passaggio 11.5.4

Applica la proprietà distributiva.

$192 x^{4} - 288 x^{2} + 12 (4 x^{4}) + 12 (- 12 x^{2}) + 12 \cdot 9$

Passaggio 11.5.5

Semplifica.

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Passaggio 11.5.5.1

Moltiplica $4$ per $12$ .

$192 x^{4} - 288 x^{2} + 48 x^{4} + 12 (- 12 x^{2}) + 12 \cdot 9$

Passaggio 11.5.5.2

Moltiplica $- 12$ per $12$ .

$192 x^{4} - 288 x^{2} + 48 x^{4} - 144 x^{2} + 12 \cdot 9$

Passaggio 11.5.5.3

Moltiplica $12$ per $9$ .

$192 x^{4} - 288 x^{2} + 48 x^{4} - 144 x^{2} + 108$

Passaggio 11.6

Somma $192 x^{4}$ e $48 x^{4}$ .

$240 x^{4} - 288 x^{2} - 144 x^{2} + 108$

Passaggio 11.7

Sottrai $144 x^{2}$ da $- 288 x^{2}$ .

$240 x^{4} - 432 x^{2} + 108$