Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{2 (x^{2})}{e^{x}}$

Passaggio 1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2 x^{2}}{e^{x}}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{e^{x}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{e^{x}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{x}$ .

$2 \frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola di potenza.

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Passaggio 3.1

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{x})}^{2}$ .

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Passaggio 3.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Passaggio 3.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$2 \frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 \frac{e^{x} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$2 \frac{e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x}}{e^{2 x}}$

Passaggio 5

$2$ e $\frac{e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x}}{e^{2 x}}$ .

$\frac{2 (e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x})}{e^{2 x}}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (e^{x} (2 x)) + 2 (- x^{2} e^{x})}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 (2 e^{x} x) + 2 (- x^{2} e^{x})}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{4 (e^{x} x) + 2 (- x^{2} e^{x})}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{4 e^{x} x - 2 x^{2} e^{x}}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.2.2

Riordina i fattori in $4 e^{x} x - 2 x^{2} e^{x}$ .

$\frac{4 x e^{x} - 2 x^{2} e^{x}}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.3

Riordina i termini.

$\frac{4 e^{x} x - 2 e^{x} x^{2}}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.4

Scomponi $2 e^{x} x$ da $4 e^{x} x - 2 e^{x} x^{2}$ .

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Passaggio 6.4.1

Scomponi $2 e^{x} x$ da $4 e^{x} x$ .

$\frac{2 e^{x} x (2) - 2 e^{x} x^{2}}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.4.2

Scomponi $2 e^{x} x$ da $- 2 e^{x} x^{2}$ .

$\frac{2 e^{x} x (2) + 2 e^{x} x (- x)}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.4.3

Scomponi $2 e^{x} x$ da $2 e^{x} x (2) + 2 e^{x} x (- x)$ .

$\frac{2 e^{x} x (2 - x)}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.5

Elimina il fattore comune di $e^{x}$ e $e^{2 x}$ .

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Passaggio 6.5.1

Scomponi $e^{2 x}$ da $2 e^{x} x (2 - x)$ .

$\frac{e^{2 x} (2 e^{- x} x (2 - x))}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.5.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.5.2.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{e^{2 x} (2 e^{- x} x (2 - x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Passaggio 6.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{2 x} (2 e^{- x} x (2 - x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Passaggio 6.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 e^{- x} x (2 - x)}{1}$

Passaggio 6.5.2.4

Dividi $2 e^{- x} x (2 - x)$ per $1$ .

$2 e^{- x} x (2 - x)$

Passaggio 6.6

Applica la proprietà distributiva.

$2 e^{- x} x \cdot 2 + 2 e^{- x} x (- x)$

Passaggio 6.7

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 e^{- x} x + 2 e^{- x} x (- x)$

Passaggio 6.8

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.8.1

Sposta $x$ .

$4 e^{- x} x + 2 e^{- x} (x \cdot x) \cdot - 1$

Passaggio 6.8.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$4 e^{- x} x + 2 e^{- x} x^{2} \cdot - 1$

Passaggio 6.9

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$4 e^{- x} x - 2 e^{- x} x^{2}$

Passaggio 6.10

Riordina i fattori in $4 e^{- x} x - 2 e^{- x} x^{2}$ .

$4 x e^{- x} - 2 x^{2} e^{- x}$