Calcolo Esempi

$f (x) = 2 x^{2} + 2 y^{2} - \ln (1 - x^{2} - y^{2}) + 1$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{2} + 2 y^{2} - \ln (1 - x^{2} - y^{2}) + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (1 - x^{2} - y^{2})] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (1 - x^{2} - y^{2})] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Passaggio 2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (1 - x^{2} - y^{2})] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (1 - x^{2} - y^{2})] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (1 - x^{2} - y^{2})] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3

Poiché $2 y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 y^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 x + 0 + \frac{d}{d x} [- \ln (1 - x^{2} - y^{2})] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4

Calcola $\frac{d}{d x} [- \ln (1 - x^{2} - y^{2})]$ .

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Passaggio 4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \ln (1 - x^{2} - y^{2})$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\ln (1 - x^{2} - y^{2})]$ .

$4 x + 0 - \frac{d}{d x} [\ln (1 - x^{2} - y^{2})] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 1 - x^{2} - y^{2}$ .

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Passaggio 4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 - x^{2} - y^{2}$ .

$4 x + 0 - (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 - x^{2} - y^{2}]) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$4 x + 0 - (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 - x^{2} - y^{2}]) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - x^{2} - y^{2}$ .

$4 x + 0 - (\frac{1}{1 - x^{2} - y^{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2} - y^{2}]) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x^{2} - y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$4 x + 0 - (\frac{1}{1 - x^{2} - y^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}])) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 x + 0 - (\frac{1}{1 - x^{2} - y^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}])) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x + 0 - (\frac{1}{1 - x^{2} - y^{2}} (0 - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}])) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 x + 0 - (\frac{1}{1 - x^{2} - y^{2}} (0 - (2 x) + \frac{d}{d x} [- y^{2}])) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.7

Poiché $- y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 x + 0 - (\frac{1}{1 - x^{2} - y^{2}} (0 - (2 x) + 0)) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.8

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$4 x + 0 - (\frac{1}{1 - x^{2} - y^{2}} (0 - 2 x + 0)) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.9

Sottrai $2 x$ da $0$ .

$4 x + 0 - (\frac{1}{1 - x^{2} - y^{2}} (- 2 x + 0)) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.10

Somma $- 2 x$ e $0$ .

$4 x + 0 - (\frac{1}{1 - x^{2} - y^{2}} (- 2 x)) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.11

$- 2$ e $\frac{1}{1 - x^{2} - y^{2}}$ .

$4 x + 0 - (\frac{- 2}{1 - x^{2} - y^{2}} x) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.12

$\frac{- 2}{1 - x^{2} - y^{2}}$ e $x$ .

$4 x + 0 - \frac{- 2 x}{1 - x^{2} - y^{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$4 x + 0 - - \frac{2 x}{1 - x^{2} - y^{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.14

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$4 x + 0 + 1 \frac{2 x}{1 - x^{2} - y^{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.15

Moltiplica $\frac{2 x}{1 - x^{2} - y^{2}}$ per $1$ .

$4 x + 0 + \frac{2 x}{1 - x^{2} - y^{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 x + 0 + \frac{2 x}{1 - x^{2} - y^{2}} + 0$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Raccogli i termini.

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Passaggio 6.1.1

Somma $4 x$ e $0$ .

$4 x + \frac{2 x}{1 - x^{2} - y^{2}} + 0$

Passaggio 6.1.2

Per scrivere $4 x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{1 - x^{2} - y^{2}}{1 - x^{2} - y^{2}}$ .

$\frac{4 x (1 - x^{2} - y^{2})}{1 - x^{2} - y^{2}} + \frac{2 x}{1 - x^{2} - y^{2}} + 0$

Passaggio 6.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4 x (1 - x^{2} - y^{2}) + 2 x}{1 - x^{2} - y^{2}} + 0$

Passaggio 6.1.4

Somma $\frac{4 x (1 - x^{2} - y^{2}) + 2 x}{1 - x^{2} - y^{2}}$ e $0$ .

$\frac{4 x (1 - x^{2} - y^{2}) + 2 x}{1 - x^{2} - y^{2}}$

Passaggio 6.2

Riordina i termini.

$\frac{4 x (1 - x^{2} - y^{2}) + 2 x}{- x^{2} - y^{2} + 1}$