Calcolo Esempi

$f (x) = 2 x^{4} - 3 x^{3} + x - \sqrt{5} x^{- 2} + 7 x - 3$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{4} - 3 x^{3} + x - \sqrt{5} x^{- 2} + 7 x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ .

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Passaggio 2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{4}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 2.3

Moltiplica $4$ per $2$ .

$8 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$8 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$8 x^{3} - 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 3.3

Moltiplica $3$ per $- 3$ .

$8 x^{3} - 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$8 x^{3} - 9 x^{2} + 1 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 5

Calcola $\frac{d}{d x} [- \sqrt{5} x^{- 2}]$ .

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Passaggio 5.1

Poiché $- \sqrt{5}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \sqrt{5} x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- \sqrt{5} \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$8 x^{3} - 9 x^{2} + 1 - \sqrt{5} \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$8 x^{3} - 9 x^{2} + 1 - \sqrt{5} (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 5.3

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$8 x^{3} - 9 x^{2} + 1 + 2 \sqrt{5} x^{- 3} + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 6

Calcola $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Passaggio 6.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 x^{3} - 9 x^{2} + 1 + 2 \sqrt{5} x^{- 3} + 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 6.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$8 x^{3} - 9 x^{2} + 1 + 2 \sqrt{5} x^{- 3} + 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 6.3

Moltiplica $7$ per $1$ .

$8 x^{3} - 9 x^{2} + 1 + 2 \sqrt{5} x^{- 3} + 7 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 7

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$8 x^{3} - 9 x^{2} + 1 + 2 \sqrt{5} x^{- 3} + 7 + 0$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 x^{3} - 9 x^{2} + 1 + 2 \sqrt{5} \frac{1}{x^{3}} + 7 + 0$

Passaggio 8.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 8.2.1

$\frac{1}{x^{3}}$ e $2$ .

$8 x^{3} - 9 x^{2} + 1 + \frac{2}{x^{3}} \sqrt{5} + 7 + 0$

Passaggio 8.2.2

$\frac{2}{x^{3}}$ e $\sqrt{5}$ .

$8 x^{3} - 9 x^{2} + 1 + \frac{2 \sqrt{5}}{x^{3}} + 7 + 0$

Passaggio 8.2.3

Somma $1$ e $7$ .

$8 x^{3} - 9 x^{2} + \frac{2 \sqrt{5}}{x^{3}} + 8 + 0$

Passaggio 8.2.4

Somma $8 x^{3} - 9 x^{2} + \frac{2 \sqrt{5}}{x^{3}} + 8$ e $0$ .

$8 x^{3} - 9 x^{2} + \frac{2 \sqrt{5}}{x^{3}} + 8$