Calcolo Esempi

$f (x) = 2 x^{3} - \frac{1}{x^{2}} + 4 \sqrt{x} + x - 11$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{3} - \frac{1}{x^{2}} + 4 \sqrt{x} + x - 11$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Passaggio 2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Passaggio 2.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$6 x^{2} - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{2}}$ come ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$6 x^{2} - \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Passaggio 3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2}$ .

$6 x^{2} - (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$6 x^{2} - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$6 x^{2} - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 x^{2} - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Passaggio 3.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$6 x^{2} - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Passaggio 3.6

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Passaggio 3.6.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 x^{2} - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$6 x^{2} - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Passaggio 3.7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$6 x^{2} - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Passaggio 3.8

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$6 x^{2} - (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Passaggio 3.9

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$6 x^{2} - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Passaggio 3.10

Sottrai $4$ da $1$ .

$6 x^{2} - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Passaggio 3.11

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Passaggio 3.12

Moltiplica $\frac{1}{x^{2}}$ per $0$ .

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + 0 + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Passaggio 3.13

Somma $2 x^{- 3}$ e $0$ .

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Passaggio 4

Calcola $\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}]$ .

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Passaggio 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Passaggio 4.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Passaggio 4.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Passaggio 4.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Passaggio 4.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Passaggio 4.7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Passaggio 4.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Passaggio 4.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + 4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Passaggio 4.9

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + 4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Passaggio 4.10

$4$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + \frac{4 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Passaggio 4.11

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + \frac{4}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Passaggio 4.12

Scomponi $2$ da $4$ .

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + \frac{2 \cdot 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Passaggio 4.13

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.13.1

Scomponi $2$ da $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + \frac{2 \cdot 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Passaggio 4.13.2

Elimina il fattore comune.

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + \frac{2 \cdot 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Passaggio 4.13.3

Riscrivi l'espressione.

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Passaggio 5

Differenzia.

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Passaggio 5.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 1 + \frac{d}{d x} [- 11]$

Passaggio 5.2

Poiché $- 11$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 11$ rispetto a $x$ è $0$ .

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 1 + 0$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 x^{2} + 2 \frac{1}{x^{3}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 1 + 0$

Passaggio 6.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 6.2.1

$2$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$6 x^{2} + \frac{2}{x^{3}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 1 + 0$

Passaggio 6.2.2

Somma $6 x^{2} + \frac{2}{x^{3}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 1$ e $0$ .

$6 x^{2} + \frac{2}{x^{3}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 1$