Calcolo Esempi

$f (x) = 2 \arcsin (\frac{x - 1}{u})$

Passaggio 1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \arcsin (\frac{x - 1}{u})$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\arcsin (\frac{x - 1}{u})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\arcsin (\frac{x - 1}{u})]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \arcsin (x)$ e $g (x) = \frac{x - 1}{u}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\frac{x - 1}{u}$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{u}])$

Passaggio 2.2

La derivata di $\arcsin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$2 (\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{u}])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\frac{x - 1}{u}$ .

$2 (\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{u}])$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}}$ e $2$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{u}]$

Passaggio 3.2

Poiché $\frac{1}{u}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x - 1}{u}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 1]$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Passaggio 3.3

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}}$ .

$\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 3.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 3.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} (1 + 0)$

Passaggio 3.7

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.7.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} \cdot 1$

Passaggio 3.7.2

Moltiplica $\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}}$ per $1$ .

$\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{x - 1}{u}$ .

$\frac{2}{u \sqrt{1 - \frac{{(x - 1)}^{2}}{u^{2}}}}$

Passaggio 4.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.2.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{2}{u \sqrt{\frac{u^{2}}{u^{2}} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{u^{2}}}}$

Passaggio 4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2}{u \sqrt{\frac{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}{u^{2}}}}$

Passaggio 4.2.3

Riscrivi $\frac{2}{u \sqrt{\frac{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}{u^{2}}}}$ come $\frac{2}{u (\frac{1}{u} \sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}})}$ .

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Passaggio 4.2.3.1

Riscrivi $\frac{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}{u^{2}}$ come ${(\frac{1}{u})}^{2} (u^{2} - {(x - 1)}^{2})$ .

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Passaggio 4.2.3.1.1

Scomponi la potenza perfetta $1^{2}$ su $u^{2} - {(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{2}{u \sqrt{\frac{1^{2} (u^{2} - {(x - 1)}^{2})}{u^{2}}}}$

Passaggio 4.2.3.1.2

Scomponi la potenza perfetta $u^{2}$ su $u^{2}$ .

$\frac{2}{u \sqrt{\frac{1^{2} (u^{2} - {(x - 1)}^{2})}{u^{2} \cdot 1}}}$

Passaggio 4.2.3.1.3

Riordina la frazione $\frac{1^{2} (u^{2} - {(x - 1)}^{2})}{u^{2} \cdot 1}$ .

$\frac{2}{u \sqrt{{(\frac{1}{u})}^{2} (u^{2} - {(x - 1)}^{2})}}$

Passaggio 4.2.3.2

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{2}{u (\frac{1}{u} \sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}})}$

Passaggio 4.2.4

$\frac{1}{u}$ e $\sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{2}{u \frac{\sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}}{u}}$

Passaggio 4.2.5

$u$ e $\frac{\sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}}{u}$ .

$\frac{2}{\frac{u \sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}}{u}}$

Passaggio 4.2.6

Elimina il fattore comune di $u$ .

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Passaggio 4.2.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{\frac{u \sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}}{u}}$

Passaggio 4.2.6.2

Dividi $\sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}$ per $1$ .

$\frac{2}{\sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}}$