Calcolo Esempi

$f (x) = 2 \ln (\csc (x^{2}))$

Passaggio 1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \ln (\csc (x^{2}))$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\ln (\csc (x^{2}))]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\ln (\csc (x^{2}))]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \csc (x^{2})$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\csc (x^{2})$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\csc (x^{2})])$

Passaggio 2.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$2 (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\csc (x^{2})])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\csc (x^{2})$ .

$2 (\frac{1}{\csc (x^{2})} \frac{d}{d x} [\csc (x^{2})])$

Passaggio 3

Riscrivi $\csc (x^{2})$ in termini di seno e coseno.

$2 (\frac{1}{\frac{1}{\sin (x^{2})}} \frac{d}{d x} [\csc (x^{2})])$

Passaggio 4

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{\sin (x^{2})}$ .

$2 (1 \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\csc (x^{2})])$

Passaggio 5

Moltiplica $\sin (x^{2})$ per $1$ .

$2 (\sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\csc (x^{2})])$

Passaggio 6

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \csc (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Passaggio 6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x^{2}$ .

$2 \sin (x^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 6.2

La derivata di $\csc (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$2 \sin (x^{2}) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{2}$ .

$2 \sin (x^{2}) (- \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 7

Differenzia usando la regola della potenza.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 \sin (x^{2}) (\csc (x^{2}) \cot (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 7.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 2 \sin (x^{2}) \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) (2 x)$

Passaggio 7.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$- 4 \sin (x^{2}) \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) x$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Riordina i fattori di $- 4 \sin (x^{2}) \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) x$ .

$- 4 x \cot (x^{2}) \csc (x^{2}) \sin (x^{2})$

Passaggio 8.2

Riscrivi $\cot (x^{2})$ in termini di seno e coseno.

$- 4 x \frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x^{2})$

Passaggio 8.3

Moltiplica $- 4 x \frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ .

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Passaggio 8.3.1

$- 4$ e $\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ .

$x \frac{- 4 \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x^{2})$

Passaggio 8.3.2

$x$ e $\frac{- 4 \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ .

$\frac{x (- 4 \cos (x^{2}))}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x^{2})$

Passaggio 8.4

Sposta $- 4$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{- 4 \cdot x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x^{2})$

Passaggio 8.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{4 \cdot x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x^{2})$

Passaggio 8.6

Riscrivi $\csc (x^{2})$ in termini di seno e coseno.

$- \frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \cdot \frac{1}{\sin (x^{2})} \sin (x^{2})$

Passaggio 8.7

Moltiplica $- \frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \cdot \frac{1}{\sin (x^{2})}$ .

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Passaggio 8.7.1

Moltiplica $\frac{1}{\sin (x^{2})}$ per $\frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ .

$- \frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) \sin (x^{2})} \sin (x^{2})$

Passaggio 8.7.2

Eleva $\sin (x^{2})$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin^{1} (x^{2}) \sin (x^{2})} \sin (x^{2})$

Passaggio 8.7.3

Eleva $\sin (x^{2})$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin^{1} (x^{2}) \sin^{1} (x^{2})} \sin (x^{2})$

Passaggio 8.7.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{4 x \cos (x^{2})}{{\sin (x^{2})}^{1 + 1}} \sin (x^{2})$

Passaggio 8.7.5

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin^{2} (x^{2})} \sin (x^{2})$

Passaggio 8.8

Elimina il fattore comune di $\sin (x^{2})$ .

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Passaggio 8.8.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin^{2} (x^{2})}$ nel numeratore.

$\frac{- 4 x \cos (x^{2})}{\sin^{2} (x^{2})} \sin (x^{2})$

Passaggio 8.8.2

Scomponi $\sin (x^{2})$ da $\sin^{2} (x^{2})$ .

$\frac{- 4 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) \sin (x^{2})} \sin (x^{2})$

Passaggio 8.8.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 4 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) \sin (x^{2})} \sin (x^{2})$

Passaggio 8.8.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 4 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$

Passaggio 8.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$

Passaggio 8.10

Frazioni separate.

$- (\frac{4 x}{1} \cdot \frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})})$

Passaggio 8.11

Converti da $\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ a $\cot (x^{2})$ .

$- (\frac{4 x}{1} \cot (x^{2}))$

Passaggio 8.12

Dividi $4 x$ per $1$ .

$- (4 x \cot (x^{2}))$

Passaggio 8.13

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- 4 x \cot (x^{2})$