Calcolo Esempi

$f (x) = - 3 \cos^{2} (x) \cdot \sin (x)$

Passaggio 1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 \cos^{2} (x) \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \cos^{2} (x)$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$- 3 (\cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)])$

Passaggio 3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$- 3 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)])$

Passaggio 4

Moltiplica $\cos^{2} (x)$ per $\cos (x)$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $\cos^{2} (x)$ per $\cos (x)$ .

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Passaggio 4.1.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$- 3 (\cos^{2} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)])$

Passaggio 4.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 3 ({\cos (x)}^{2 + 1} + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)])$

Passaggio 4.2

Somma $2$ e $1$ .

$- 3 (\cos^{3} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)])$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Passaggio 5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\cos (x)$ .

$- 3 (\cos^{3} (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]))$

Passaggio 5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 3 (\cos^{3} (x) + \sin (x) (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]))$

Passaggio 5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (x)$ .

$- 3 (\cos^{3} (x) + \sin (x) (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]))$

Passaggio 6

Sposta $2$ alla sinistra di $\sin (x)$ .

$- 3 (\cos^{3} (x) + 2 \cdot \sin (x) \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 7

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$- 3 (\cos^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) (- \sin (x)))$

Passaggio 8

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 3 (\cos^{3} (x) - 2 \sin (x) \cos (x) \sin (x))$

Passaggio 9

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$- 3 (\cos^{3} (x) - 2 (\sin^{1} (x) \sin (x)) \cos (x))$

Passaggio 10

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$- 3 (\cos^{3} (x) - 2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) \cos (x))$

Passaggio 11

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 3 (\cos^{3} (x) - 2 {\sin (x)}^{1 + 1} \cos (x))$

Passaggio 12

Somma $1$ e $1$ .

$- 3 (\cos^{3} (x) - 2 \sin^{2} (x) \cos (x))$

Passaggio 13

Semplifica.

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Passaggio 13.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 3 \cos^{3} (x) - 3 (- 2 \sin^{2} (x) \cos (x))$

Passaggio 13.2

Moltiplica $- 2$ per $- 3$ .

$- 3 \cos^{3} (x) + 6 \sin^{2} (x) \cos (x)$

Passaggio 13.3

Riordina i termini.

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) - 3 \cos^{3} (x)$