Calcolo Esempi

$f (x) = 3 (5^{\sqrt{2 x + 7}})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2 x + 7}$ come ${(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = 5^{x}$ e $g (x) = {(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come ${(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [5^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $5$ .

$3 (5^{u_{1}} \ln (5) \frac{d}{d x} [{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con ${(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5) \frac{d}{d x} [{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 2 x + 7$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 x + 7$ .

$3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x + 7])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5) (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + 7])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x + 7$ .

$3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5) (\frac{1}{2} {(2 x + 7)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + 7])$

Passaggio 4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5) (\frac{1}{2} {(2 x + 7)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 7])$

Passaggio 5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5) (\frac{1}{2} {(2 x + 7)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 7])$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5) (\frac{1}{2} {(2 x + 7)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 7])$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5) (\frac{1}{2} {(2 x + 7)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 7])$

Passaggio 7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5) (\frac{1}{2} {(2 x + 7)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 7])$

Passaggio 8

Riduci le frazioni.

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Passaggio 8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5) (\frac{1}{2} {(2 x + 7)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 7])$

Passaggio 8.2

$\frac{1}{2}$ e ${(2 x + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5) (\frac{{(2 x + 7)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x + 7])$

Passaggio 8.3

Sposta ${(2 x + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5) (\frac{1}{2 {(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x + 7])$

Passaggio 8.4

$3$ e $\frac{1}{2 {(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5) (\frac{3}{2 {(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x + 7])$

Passaggio 8.5

$\frac{3}{2 {(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$ e $5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5) \frac{d}{d x} [2 x + 7]$

Passaggio 8.6

$\frac{3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$ e $\ln (5)$ .

$\frac{3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5)}{2 {(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x + 7]$

Passaggio 9

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5)}{2 {(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [7])$

Passaggio 10

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5)}{2 {(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])$

Passaggio 11

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5)}{2 {(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7])$

Passaggio 12

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5)}{2 {(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (2 + \frac{d}{d x} [7])$

Passaggio 13

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5)}{2 {(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (2 + 0)$

Passaggio 14

Semplifica i termini.

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Passaggio 14.1

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5)}{2 {(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 2$

Passaggio 14.2

$\frac{3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5)}{2 {(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$ e $2$ .

$\frac{3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5) \cdot 2}{2 {(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{6 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5)}{2 {(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.4

Scomponi $2$ da $6 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5)$ .

$\frac{2 (3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5))}{2 {(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 15

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 15.1

Scomponi $2$ da $2 {(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5))}{2 ({(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 15.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5))}{2 {(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 15.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 \cdot 5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5)}{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 16

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 16.1

Semplifica $3 \ln (5)$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$\frac{5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (5^{3})}{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 16.2

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$\frac{5^{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \ln (125)}{{(2 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$