Calcolo Esempi

$f (x) = 3 \sqrt{4 x} + e^{- 2 x}$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 \sqrt{4 x} + e^{- 2 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 \sqrt{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \sqrt{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 \sqrt{4 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{4 x}$ come ${(4 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [3 {(4 x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Passaggio 2.2

Scomponi $4$ da $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 {(4 (x))}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Passaggio 2.3

Applica la regola del prodotto a $4 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [3 (4^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Passaggio 2.4

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [3 ({(2^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Passaggio 2.5

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [3 (2^{2 (\frac{1}{2})} x^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Passaggio 2.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d}{d x} [3 (2^{2 (\frac{1}{2})} x^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Passaggio 2.6.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d}{d x} [3 (2^{1} x^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Passaggio 2.7

Calcola l'esponente.

$\frac{d}{d x} [3 (2 x^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Passaggio 2.8

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Passaggio 2.9

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Passaggio 2.10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Passaggio 2.11

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Passaggio 2.12

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Passaggio 2.13

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Passaggio 2.14

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.14.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Passaggio 2.14.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$6 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Passaggio 2.15

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$6 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Passaggio 2.16

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$6 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Passaggio 2.17

$6$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{6 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Passaggio 2.18

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Passaggio 2.19

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Passaggio 2.20

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.20.1

Scomponi $2$ da $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Passaggio 2.20.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Passaggio 2.20.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- 2 x$ .

$\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 2 x$ .

$\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 3.2

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)$

Passaggio 3.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{- 2 x} \cdot - 2$

Passaggio 3.5

Sposta $- 2$ alla sinistra di $e^{- 2 x}$ .

$\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} - 2 e^{- 2 x}$