Calcolo Esempi

$f (x) = 3 x^{4} \ln ({(x)}^{2})$

Passaggio 1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{4} \ln (x^{2})$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x^{2})]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x^{2})]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = \ln (x^{2})$ .

$3 (x^{4} \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2}$ .

$3 (x^{4} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 3.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$3 (x^{4} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$3 (x^{4} (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola di potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

$\frac{1}{x^{2}}$ e $x^{4}$ .

$3 (\frac{x^{4}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 4.2

Elimina il fattore comune di $x^{4}$ e $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{4}$ .

$3 (\frac{x^{2} x^{2}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 4.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Moltiplica per $1$ .

$3 (\frac{x^{2} x^{2}}{x^{2} \cdot 1} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 4.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$3 (\frac{x^{2} x^{2}}{x^{2} \cdot 1} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 4.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$3 (\frac{x^{2}}{1} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 4.2.2.4

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$3 (x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 (x^{2} (2 x) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 5

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sposta $x$ .

$3 (x \cdot x^{2} \cdot 2 + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 5.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$3 (x^{1} x^{2} \cdot 2 + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 5.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 (x^{1 + 2} \cdot 2 + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 5.3

Somma $1$ e $2$ .

$3 (x^{3} \cdot 2 + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 6

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{3}$ .

$3 (2 \cdot x^{3} + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$3 (2 x^{3} + \ln (x^{2}) (4 x^{3}))$

Passaggio 8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 (2 x^{3}) + 3 (\ln (x^{2}) (4 x^{3}))$

Passaggio 8.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 x^{3} + 3 (\ln (x^{2}) (4 x^{3}))$

Passaggio 8.2.2

Moltiplica $4$ per $3$ .

$6 x^{3} + 12 \ln (x^{2}) x^{3}$

Passaggio 8.3

Riordina i termini.

$6 x^{3} + 12 x^{3} \ln (x^{2})$