Calcolo Esempi

$f (x) = 5 x^{4} \ln (\frac{1}{9} x) + x^{4}$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x^{4} \ln (\frac{1}{9} x) + x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x^{4} \ln (\frac{1}{9} x)] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4} \ln (\frac{1}{9} x)] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{4} \ln (\frac{1}{9} x)]$ .

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Passaggio 2.1

$\frac{1}{9}$ e $x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4} \ln (\frac{x}{9})] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 2.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{4} \ln (\frac{x}{9})$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{4} \ln (\frac{x}{9})]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4} \ln (\frac{x}{9})] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = \ln (\frac{x}{9})$ .

$5 (x^{4} \frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{9})] + \ln (\frac{x}{9}) \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{x}{9}$ .

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Passaggio 2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x}{9}$ .

$5 (x^{4} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{9}]) + \ln (\frac{x}{9}) \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 2.4.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$5 (x^{4} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{9}]) + \ln (\frac{x}{9}) \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{9}$ .

$5 (x^{4} (\frac{1}{\frac{x}{9}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{9}]) + \ln (\frac{x}{9}) \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 2.5

Poiché $\frac{1}{9}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{9}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (x^{4} (\frac{1}{\frac{x}{9}} (\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x])) + \ln (\frac{x}{9}) \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 (x^{4} (\frac{1}{\frac{x}{9}} (\frac{1}{9} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{9}) \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 2.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$5 (x^{4} (\frac{1}{\frac{x}{9}} (\frac{1}{9} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 2.8

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{x}{9}$ .

$5 (x^{4} (1 \frac{9}{x} (\frac{1}{9} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 2.9

Moltiplica $\frac{9}{x}$ per $1$ .

$5 (x^{4} (\frac{9}{x} (\frac{1}{9} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 2.10

Moltiplica $\frac{1}{9}$ per $1$ .

$5 (x^{4} (\frac{9}{x} \cdot \frac{1}{9}) + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 2.11

Moltiplica $\frac{9}{x}$ per $\frac{1}{9}$ .

$5 (x^{4} \frac{9}{x \cdot 9} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 2.12

Sposta $9$ alla sinistra di $x$ .

$5 (x^{4} \frac{9}{9 \cdot x} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 2.13

Elimina il fattore comune di $9$ .

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Passaggio 2.13.1

Elimina il fattore comune.

$5 (x^{4} \frac{9}{9 x} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 2.13.2

Riscrivi l'espressione.

$5 (x^{4} \frac{1}{x} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 2.14

$x^{4}$ e $\frac{1}{x}$ .

$5 (\frac{x^{4}}{x} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 2.15

Elimina il fattore comune di $x^{4}$ e $x$ .

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Passaggio 2.15.1

Scomponi $x$ da $x^{4}$ .

$5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 2.15.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.15.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 2.15.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 2.15.2.3

Elimina il fattore comune.

$5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 2.15.2.4

Riscrivi l'espressione.

$5 (\frac{x^{3}}{1} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 2.15.2.5

Dividi $x^{3}$ per $1$ .

$5 (x^{3} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$5 (x^{3} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + 4 x^{3}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$5 x^{3} + 5 (\ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + 4 x^{3}$

Passaggio 4.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.2.1

Moltiplica $4$ per $5$ .

$5 x^{3} + 20 (\ln (\frac{x}{9}) (x^{3})) + 4 x^{3}$

Passaggio 4.2.2

Somma $5 x^{3}$ e $4 x^{3}$ .

$9 x^{3} + 20 \ln (\frac{x}{9}) x^{3}$

Passaggio 4.3

Riordina i termini.

$9 x^{3} + 20 x^{3} \ln (\frac{x}{9})$