Calcolo Esempi

$f (x) = 5 \sin (x) (3 x^{2} + 2 x + 1)$

Passaggio 1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 \sin (x) (3 x^{2} + 2 x + 1)$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [\sin (x) (3 x^{2} + 2 x + 1)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\sin (x) (3 x^{2} + 2 x + 1)]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 3 x^{2} + 2 x + 1$ .

$5 (\sin (x) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x + 1] + (3 x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} + 2 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$5 (\sin (x) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 3.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 (\sin (x) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$5 (\sin (x) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 3.4

Moltiplica $2$ per $3$ .

$5 (\sin (x) (6 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 3.5

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (\sin (x) (6 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 (\sin (x) (6 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 3.7

Moltiplica $2$ per $1$ .

$5 (\sin (x) (6 x + 2 + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 3.8

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$5 (\sin (x) (6 x + 2 + 0) + (3 x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 3.9

Somma $6 x + 2$ e $0$ .

$5 (\sin (x) (6 x + 2) + (3 x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 4

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$5 (\sin (x) (6 x + 2) + (3 x^{2} + 2 x + 1) \cos (x))$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$5 (\sin (x) (6 x) + \sin (x) \cdot 2 + (3 x^{2} + 2 x + 1) \cos (x))$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$5 (\sin (x) (6 x) + \sin (x) \cdot 2 + 3 x^{2} \cos (x) + 2 x \cos (x) + 1 \cos (x))$

Passaggio 5.3

Applica la proprietà distributiva.

$5 (\sin (x) (6 x)) + 5 (\sin (x) \cdot 2) + 5 (3 x^{2} \cos (x)) + 5 (2 x \cos (x)) + 5 (1 \cos (x))$

Passaggio 5.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Moltiplica $6$ per $5$ .

$30 (\sin (x) (x)) + 5 (\sin (x) \cdot 2) + 5 (3 x^{2} \cos (x)) + 5 (2 x \cos (x)) + 5 (1 \cos (x))$

Passaggio 5.4.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\sin (x)$ .

$30 \sin (x) x + 5 (2 \cdot \sin (x)) + 5 (3 x^{2} \cos (x)) + 5 (2 x \cos (x)) + 5 (1 \cos (x))$

Passaggio 5.4.3

Moltiplica $2$ per $5$ .

$30 \sin (x) x + 10 \sin (x) + 5 (3 x^{2} \cos (x)) + 5 (2 x \cos (x)) + 5 (1 \cos (x))$

Passaggio 5.4.4

Moltiplica $3$ per $5$ .

$30 \sin (x) x + 10 \sin (x) + 15 (x^{2} \cos (x)) + 5 (2 x \cos (x)) + 5 (1 \cos (x))$

Passaggio 5.4.5

Moltiplica $2$ per $5$ .

$30 \sin (x) x + 10 \sin (x) + 15 x^{2} \cos (x) + 10 (x \cos (x)) + 5 (1 \cos (x))$

Passaggio 5.4.6

Moltiplica $\cos (x)$ per $1$ .

$30 \sin (x) x + 10 \sin (x) + 15 x^{2} \cos (x) + 10 x \cos (x) + 5 \cos (x)$

Passaggio 5.5

Riordina i termini.

$30 x \sin (x) + 15 x^{2} \cos (x) + 10 x \cos (x) + 10 \sin (x) + 5 \cos (x)$