Calcolo Esempi

$f (x) = 5 x {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$5 (x \frac{d}{d x} [{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}] + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 2 x^{3} - 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x^{3} - 7$ .

$5 (x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$5 (x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x^{3} - 7$ .

$5 (x (\frac{1}{2} {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$5 (x (\frac{1}{2} {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$5 (x (\frac{1}{2} {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$5 (x (\frac{1}{2} {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$5 (x (\frac{1}{2} {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$5 (x (\frac{1}{2} {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 8

Riduci le frazioni.

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Passaggio 8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$5 (x (\frac{1}{2} {(2 x^{3} - 7)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 8.2

$\frac{1}{2}$ e ${(2 x^{3} - 7)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$5 (x (\frac{{(2 x^{3} - 7)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 8.3

Sposta ${(2 x^{3} - 7)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (x (\frac{1}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 8.4

$\frac{1}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$5 (\frac{x}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 7] + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 9

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{3} - 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$5 (\frac{x}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 10

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 (\frac{x}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 11

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$5 (\frac{x}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 12

Moltiplica $3$ per $2$ .

$5 (\frac{x}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 7]) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 13

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$5 (\frac{x}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} (6 x^{2} + 0) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 14

Riduci le frazioni.

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Passaggio 14.1

Somma $6 x^{2}$ e $0$ .

$5 (\frac{x}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} (6 x^{2}) + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 14.2

$6$ e $\frac{x}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$5 (\frac{6 x}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} x^{2} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 14.3

$\frac{6 x}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x^{2}$ .

$5 (\frac{6 x \cdot x^{2}}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 15

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 15.1

Sposta $x^{2}$ .

$5 (\frac{6 (x^{2} x)}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 15.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

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Passaggio 15.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$5 (\frac{6 (x^{2} x^{1})}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 15.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$5 (\frac{6 x^{2 + 1}}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 15.3

Somma $2$ e $1$ .

$5 (\frac{6 x^{3}}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 16

Scomponi $2$ da $6 x^{3}$ .

$5 (\frac{2 (3 x^{3})}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 17

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 17.1

Scomponi $2$ da $2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$5 (\frac{2 (3 x^{3})}{2 ({(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}})} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 17.2

Elimina il fattore comune.

$5 (\frac{2 (3 x^{3})}{2 {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 17.3

Riscrivi l'espressione.

$5 (\frac{3 x^{3}}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 18

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 (\frac{3 x^{3}}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Passaggio 19

Moltiplica ${(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$5 (\frac{3 x^{3}}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 20

Per scrivere ${(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$5 (\frac{3 x^{3}}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 21

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$5 \frac{3 x^{3} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}} {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22

Moltiplica ${(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$5 \frac{3 x^{3} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$5 \frac{3 x^{3} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22.3

Somma $1$ e $1$ .

$5 \frac{3 x^{3} + {(2 x^{3} - 7)}^{\frac{2}{2}}}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22.4

Dividi $2$ per $2$ .

$5 \frac{3 x^{3} + {(2 x^{3} - 7)}^{1}}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 23

Semplifica ${(2 x^{3} - 7)}^{1}$ .

$5 \frac{3 x^{3} + 2 x^{3} - 7}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 24

Somma $3 x^{3}$ e $2 x^{3}$ .

$5 \frac{5 x^{3} - 7}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 25

$5$ e $\frac{5 x^{3} - 7}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{5 (5 x^{3} - 7)}{{(2 x^{3} - 7)}^{\frac{1}{2}}}$