Calcolo Esempi

$f (x) = 5 x^{3 e^{x}}$

Passaggio 1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{3 e^{x}}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{3 e^{x}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{3 e^{x}}]$

Passaggio 2

Usa la proprietà dei logaritmi per semplificare la differenziazione.

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Passaggio 2.1

Riscrivi $x^{3 e^{x}}$ come $e^{\ln (x^{3 e^{x}})}$ .

$5 \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{3 e^{x}})}]$

Passaggio 2.2

Espandi $\ln (x^{3 e^{x}})$ spostando $3 e^{x}$ fuori dal logaritmo.

$5 \frac{d}{d x} [e^{3 e^{x} \ln (x)}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 e^{x} \ln (x)$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 e^{x} \ln (x)$ .

$5 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 e^{x} \ln (x)])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$5 (e^{u} \frac{d}{d x} [3 e^{x} \ln (x)])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 e^{x} \ln (x)$ .

$5 (e^{3 e^{x} \ln (x)} \frac{d}{d x} [3 e^{x} \ln (x)])$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 4.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 e^{x} \ln (x)$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)]$ .

$5 e^{3 e^{x} \ln (x)} (3 \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)])$

Passaggio 4.2

Moltiplica $3$ per $5$ .

$15 e^{3 e^{x} \ln (x)} \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)]$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Passaggio 6

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (e^{x} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Passaggio 7

$e^{x}$ e $\frac{1}{x}$ .

$15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\frac{e^{x}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Passaggio 8

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\frac{e^{x}}{x} + \ln (x) e^{x})$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Applica la proprietà distributiva.

$15 e^{3 e^{x} \ln (x)} \frac{e^{x}}{x} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Passaggio 9.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 9.2.1

$\frac{e^{x}}{x}$ e $15$ .

$\frac{e^{x} \cdot 15}{x} e^{3 e^{x} \ln (x)} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Passaggio 9.2.2

$\frac{e^{x} \cdot 15}{x}$ e $e^{3 e^{x} \ln (x)}$ .

$\frac{e^{x} \cdot 15 e^{3 e^{x} \ln (x)}}{x} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Passaggio 9.2.3

Moltiplica $e^{x}$ per $e^{3 e^{x} \ln (x)}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 9.2.3.1

Sposta $e^{3 e^{x} \ln (x)}$ .

$\frac{e^{3 e^{x} \ln (x)} e^{x} \cdot 15}{x} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Passaggio 9.2.3.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{e^{3 e^{x} \ln (x) + x} \cdot 15}{x} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Passaggio 9.2.3.3

Moltiplica $3 e^{x} \ln (x)$ .

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Passaggio 9.2.3.3.1

Riordina $\ln (x)$ e $3$ .

$\frac{e^{3 \cdot \ln (x) e^{x} + x} \cdot 15}{x} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Passaggio 9.2.3.3.2

Semplifica $3 \cdot \ln (x)$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$\frac{e^{\ln (x^{3}) e^{x} + x} \cdot 15}{x} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Passaggio 9.2.3.4

Riordina i fattori in $\ln (x^{3}) e^{x} + x$ .

$\frac{e^{e^{x} \ln (x^{3}) + x} \cdot 15}{x} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Passaggio 9.2.4

Sposta $15$ alla sinistra di $e^{e^{x} \ln (x^{3}) + x}$ .

$\frac{15 \cdot e^{e^{x} \ln (x^{3}) + x}}{x} + 15 e^{3 e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Passaggio 9.2.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{15 e^{e^{x} \ln (x^{3}) + x}}{x} + 15 e^{x + 3 e^{x} \ln (x)} \ln (x)$

Passaggio 9.2.6

Per scrivere $15 e^{x + 3 e^{x} \ln (x)} \ln (x)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{15 e^{e^{x} \ln (x^{3}) + x}}{x} + \frac{15 e^{x + 3 e^{x} \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

Passaggio 9.2.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{15 e^{e^{x} \ln (x^{3}) + x} + 15 e^{x + 3 e^{x} \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

Passaggio 9.3

Riordina i termini.

$\frac{15 e^{x + 3 e^{x} \ln (x)} x \ln (x) + 15 e^{e^{x} \ln (x^{3}) + x}}{x}$