Calcolo Esempi

$f (x) = 500 (1 + (\frac{4 x}{50 + x^{2}}))$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{d}{d x} [500 (\frac{50 + x^{2}}{50 + x^{2}} + \frac{4 x}{50 + x^{2}})]$

Passaggio 1.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d}{d x} [500 \frac{50 + x^{2} + 4 x}{50 + x^{2}}]$

Passaggio 1.2.2

$500$ e $\frac{50 + x^{2} + 4 x}{50 + x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{500 (50 + x^{2} + 4 x)}{50 + x^{2}}]$

Passaggio 1.3

Poiché $500$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{500 (50 + x^{2} + 4 x)}{50 + x^{2}}$ rispetto a $x$ è $500 \frac{d}{d x} [\frac{50 + x^{2} + 4 x}{50 + x^{2}}]$ .

$500 \frac{d}{d x} [\frac{50 + x^{2} + 4 x}{50 + x^{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 50 + x^{2} + 4 x$ e $g (x) = 50 + x^{2}$ .

$500 \frac{(50 + x^{2}) \frac{d}{d x} [50 + x^{2} + 4 x] - (50 + x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [50 + x^{2}]}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $50 + x^{2} + 4 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [50] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$500 \frac{(50 + x^{2}) (\frac{d}{d x} [50] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]) - (50 + x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [50 + x^{2}]}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Poiché $50$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $50$ rispetto a $x$ è $0$ .

$500 \frac{(50 + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]) - (50 + x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [50 + x^{2}]}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$500 \frac{(50 + x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]) - (50 + x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [50 + x^{2}]}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$500 \frac{(50 + x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [4 x]) - (50 + x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [50 + x^{2}]}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.5

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$500 \frac{(50 + x^{2}) (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x]) - (50 + x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [50 + x^{2}]}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$500 \frac{(50 + x^{2}) (2 x + 4 \cdot 1) - (50 + x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [50 + x^{2}]}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.7

Moltiplica $4$ per $1$ .

$500 \frac{(50 + x^{2}) (2 x + 4) - (50 + x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [50 + x^{2}]}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $50 + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [50] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$500 \frac{(50 + x^{2}) (2 x + 4) - (50 + x^{2} + 4 x) (\frac{d}{d x} [50] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.9

Poiché $50$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $50$ rispetto a $x$ è $0$ .

$500 \frac{(50 + x^{2}) (2 x + 4) - (50 + x^{2} + 4 x) (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.10

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$500 \frac{(50 + x^{2}) (2 x + 4) - (50 + x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.11

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$500 \frac{(50 + x^{2}) (2 x + 4) - (50 + x^{2} + 4 x) (2 x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.12

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$500 \frac{(50 + x^{2}) (2 x + 4) - 2 (50 + x^{2} + 4 x) x}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.12.2

$500$ e $\frac{(50 + x^{2}) (2 x + 4) - 2 (50 + x^{2} + 4 x) x}{{(50 + x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{500 ((50 + x^{2}) (2 x + 4) - 2 (50 + x^{2} + 4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{500 ((50 + x^{2}) (2 x + 4) + (- 2 \cdot 50 - 2 x^{2} - 2 (4 x)) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{500 ((50 + x^{2}) (2 x + 4) - 2 \cdot 50 x - 2 x^{2} x - 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{500 ((50 + x^{2}) (2 x + 4)) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.1

Espandi $(50 + x^{2}) (2 x + 4)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{500 (50 (2 x + 4) + x^{2} (2 x + 4)) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.4.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{500 (50 (2 x) + 50 \cdot 4 + x^{2} (2 x + 4)) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.4.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{500 (50 (2 x) + 50 \cdot 4 + x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 4) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.4.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.2.1

Moltiplica $2$ per $50$ .

$\frac{500 (100 x + 50 \cdot 4 + x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 4) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.4.1.2.2

Moltiplica $50$ per $4$ .

$\frac{500 (100 x + 200 + x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 4) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.4.1.2.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{500 (100 x + 200 + 2 x^{2} x + x^{2} \cdot 4) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.4.1.2.4

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.2.4.1

Sposta $x$ .

$\frac{500 (100 x + 200 + 2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 4) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.4.1.2.4.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.2.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{500 (100 x + 200 + 2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 4) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.4.1.2.4.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{500 (100 x + 200 + 2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 4) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.4.1.2.4.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{500 (100 x + 200 + 2 x^{3} + x^{2} \cdot 4) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.4.1.2.5

Sposta $4$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$\frac{500 (100 x + 200 + 2 x^{3} + 4 x^{2}) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{500 (100 x) + 500 \cdot 200 + 500 (2 x^{3}) + 500 (4 x^{2}) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.4.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.4.1

Moltiplica $100$ per $500$ .

$\frac{50000 x + 500 \cdot 200 + 500 (2 x^{3}) + 500 (4 x^{2}) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.4.1.4.2

Moltiplica $500$ per $200$ .

$\frac{50000 x + 100000 + 500 (2 x^{3}) + 500 (4 x^{2}) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.4.1.4.3

Moltiplica $2$ per $500$ .

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 500 (4 x^{2}) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.4.1.4.4

Moltiplica $4$ per $500$ .

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.4.1.5

Moltiplica $- 2$ per $50$ .

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} + 500 (- 100 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.4.1.6

Moltiplica $- 100$ per $500$ .

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.4.1.7

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.7.1

Sposta $x$ .

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x + 500 (- 2 (x \cdot x^{2})) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.4.1.7.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.7.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x + 500 (- 2 (x^{1} x^{2})) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.4.1.7.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x + 500 (- 2 x^{1 + 2}) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.4.1.7.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x + 500 (- 2 x^{3}) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.4.1.8

Moltiplica $- 2$ per $500$ .

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x - 1000 x^{3} + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.4.1.9

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.9.1

Sposta $x$ .

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x - 1000 x^{3} + 500 (- 2 (4 (x \cdot x)))}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.4.1.9.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x - 1000 x^{3} + 500 (- 2 (4 x^{2}))}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.4.1.10

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x - 1000 x^{3} + 500 (- 8 x^{2})}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.4.1.11

Moltiplica $- 8$ per $500$ .

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x - 1000 x^{3} - 4000 x^{2}}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.4.2

Combina i termini opposti in $50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x - 1000 x^{3} - 4000 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Sottrai $50000 x$ da $50000 x$ .

$\frac{100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} + 0 - 1000 x^{3} - 4000 x^{2}}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.4.2.2

Somma $100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 1000 x^{3} - 4000 x^{2}}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.4.2.3

Sottrai $1000 x^{3}$ da $1000 x^{3}$ .

$\frac{100000 + 2000 x^{2} + 0 - 4000 x^{2}}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.4.2.4

Somma $100000 + 2000 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{100000 + 2000 x^{2} - 4000 x^{2}}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.4.3

Sottrai $4000 x^{2}$ da $2000 x^{2}$ .

$\frac{100000 - 2000 x^{2}}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 4.5

Riordina i termini.

$\frac{- 2000 x^{2} + 100000}{{(x^{2} + 50)}^{2}}$

Passaggio 4.6

Scomponi $2000$ da $- 2000 x^{2} + 100000$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Scomponi $2000$ da $- 2000 x^{2}$ .

$\frac{2000 (- x^{2}) + 100000}{{(x^{2} + 50)}^{2}}$

Passaggio 4.6.2

Scomponi $2000$ da $100000$ .

$\frac{2000 (- x^{2}) + 2000 (50)}{{(x^{2} + 50)}^{2}}$

Passaggio 4.6.3

Scomponi $2000$ da $2000 (- x^{2}) + 2000 (50)$ .

$\frac{2000 (- x^{2} + 50)}{{(x^{2} + 50)}^{2}}$

Passaggio 4.7

Scomponi $- 1$ da $- x^{2}$ .

$\frac{2000 (- (x^{2}) + 50)}{{(x^{2} + 50)}^{2}}$

Passaggio 4.8

Riscrivi $50$ come $- 1 (- 50)$ .

$\frac{2000 (- (x^{2}) - 1 (- 50))}{{(x^{2} + 50)}^{2}}$

Passaggio 4.9

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2}) - 1 (- 50)$ .

$\frac{2000 (- (x^{2} - 50))}{{(x^{2} + 50)}^{2}}$

Passaggio 4.10

Riscrivi $- (x^{2} - 50)$ come $- 1 (x^{2} - 50)$ .

$\frac{2000 (- 1 (x^{2} - 50))}{{(x^{2} + 50)}^{2}}$

Passaggio 4.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2000 (x^{2} - 50)}{{(x^{2} + 50)}^{2}}$