Calcolo Esempi

$f (x) = 50 - \frac{25 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}$

Passaggio 1

Differenzia.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $50 - \frac{25 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [50] + \frac{d}{d t} [- \frac{25 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$ .

$\frac{d}{d t} [50] + \frac{d}{d t} [- \frac{25 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$

Passaggio 1.2

Poiché $50$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $50$ rispetto a $t$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- \frac{25 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d t} [- \frac{25 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $- 25$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- \frac{25 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}$ rispetto a $t$ è $- 25 \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$ .

$0 - 25 \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ è $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ dove $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = {(t + 3)}^{2}$ .

$0 - 25 \frac{{(t + 3)}^{2} \frac{d}{d t} [t^{2}] - t^{2} \frac{d}{d t} [{(t + 3)}^{2}]}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 - 25 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} \frac{d}{d t} [{(t + 3)}^{2}]}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = t + 3$ .

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Passaggio 2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $t + 3$ .

$0 - 25 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [t + 3])}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 - 25 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 u \frac{d}{d t} [t + 3])}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $t + 3$ .

$0 - 25 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 (t + 3) \frac{d}{d t} [t + 3])}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $t + 3$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$0 - 25 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 (t + 3) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - 25 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 (t + 3) (1 + \frac{d}{d t} [3]))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.7

Poiché $3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $3$ rispetto a $t$ è $0$ .

$0 - 25 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 (t + 3) (1 + 0))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.8

Sposta $2$ alla sinistra di ${(t + 3)}^{2}$ .

$0 - 25 \frac{2 \cdot {(t + 3)}^{2} t - t^{2} (2 (t + 3) (1 + 0))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9

Somma $1$ e $0$ .

$0 - 25 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - t^{2} (2 (t + 3) \cdot 1)}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.10

Moltiplica $2$ per $1$ .

$0 - 25 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - t^{2} (2 (t + 3))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$0 - 25 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3)}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.12

Moltiplica gli esponenti in ${({(t + 3)}^{2})}^{2}$ .

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Passaggio 2.12.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - 25 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3)}{{(t + 3)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.12.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$0 - 25 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.13

$- 25$ e $\frac{2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3)}{{(t + 3)}^{4}}$ .

$0 + \frac{- 25 (2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3))}{{(t + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$0 - \frac{25 (2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3))}{{(t + 3)}^{4}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$0 - \frac{25 (2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} t - 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$0 - \frac{25 (2 {(t + 3)}^{2} t) + 25 (- 2 t^{2} t) + 25 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Passaggio 3.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.3.1

Moltiplica $2$ per $25$ .

$0 - \frac{50 ({(t + 3)}^{2} t) + 25 (- 2 t^{2} t) + 25 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Passaggio 3.3.2

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$0 - \frac{50 {(t + 3)}^{2} t + 25 (- 2 (t^{1} t^{2})) + 25 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Passaggio 3.3.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$0 - \frac{50 {(t + 3)}^{2} t + 25 (- 2 t^{1 + 2}) + 25 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Passaggio 3.3.4

Somma $1$ e $2$ .

$0 - \frac{50 {(t + 3)}^{2} t + 25 (- 2 t^{3}) + 25 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Passaggio 3.3.5

Moltiplica $- 2$ per $25$ .

$0 - \frac{50 {(t + 3)}^{2} t - 50 t^{3} + 25 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Passaggio 3.3.6

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$0 - \frac{50 {(t + 3)}^{2} t - 50 t^{3} + 25 (- 6 t^{2})}{{(t + 3)}^{4}}$

Passaggio 3.3.7

Moltiplica $- 6$ per $25$ .

$0 - \frac{50 {(t + 3)}^{2} t - 50 t^{3} - 150 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$

Passaggio 3.3.8

Sottrai $\frac{50 {(t + 3)}^{2} t - 50 t^{3} - 150 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$ da $0$ .

$- \frac{50 {(t + 3)}^{2} t - 50 t^{3} - 150 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$

Passaggio 3.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.4.1

Scomponi $50 t$ da $50 {(t + 3)}^{2} t - 50 t^{3} - 150 t^{2}$ .

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Passaggio 3.4.1.1

Scomponi $50 t$ da $50 {(t + 3)}^{2} t$ .

$- \frac{50 t ({(t + 3)}^{2}) - 50 t^{3} - 150 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$

Passaggio 3.4.1.2

Scomponi $50 t$ da $- 50 t^{3}$ .

$- \frac{50 t ({(t + 3)}^{2}) + 50 t (- t^{2}) - 150 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$

Passaggio 3.4.1.3

Scomponi $50 t$ da $- 150 t^{2}$ .

$- \frac{50 t ({(t + 3)}^{2}) + 50 t (- t^{2}) + 50 t (- 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Passaggio 3.4.1.4

Scomponi $50 t$ da $50 t ({(t + 3)}^{2}) + 50 t (- t^{2})$ .

$- \frac{50 t ({(t + 3)}^{2} - t^{2}) + 50 t (- 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Passaggio 3.4.1.5

Scomponi $50 t$ da $50 t ({(t + 3)}^{2} - t^{2}) + 50 t (- 3 t)$ .

$- \frac{50 t ({(t + 3)}^{2} - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Passaggio 3.4.2

Riscrivi ${(t + 3)}^{2}$ come $(t + 3) (t + 3)$ .

$- \frac{50 t ((t + 3) (t + 3) - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Passaggio 3.4.3

Espandi $(t + 3) (t + 3)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.4.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{50 t (t (t + 3) + 3 (t + 3) - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Passaggio 3.4.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{50 t (t \cdot t + t \cdot 3 + 3 (t + 3) - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Passaggio 3.4.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{50 t (t \cdot t + t \cdot 3 + 3 t + 3 \cdot 3 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Passaggio 3.4.4

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.4.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.4.4.1.1

Moltiplica $t$ per $t$ .

$- \frac{50 t (t^{2} + t \cdot 3 + 3 t + 3 \cdot 3 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Passaggio 3.4.4.1.2

Sposta $3$ alla sinistra di $t$ .

$- \frac{50 t (t^{2} + 3 \cdot t + 3 t + 3 \cdot 3 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Passaggio 3.4.4.1.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$- \frac{50 t (t^{2} + 3 t + 3 t + 9 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Passaggio 3.4.4.2

Somma $3 t$ e $3 t$ .

$- \frac{50 t (t^{2} + 6 t + 9 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Passaggio 3.4.5

Sottrai $t^{2}$ da $t^{2}$ .

$- \frac{50 t (6 t + 9 + 0 - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Passaggio 3.4.6

Somma $6 t$ e $0$ .

$- \frac{50 t (6 t + 9 - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Passaggio 3.4.7

Sottrai $3 t$ da $6 t$ .

$- \frac{50 t (3 t + 9)}{{(t + 3)}^{4}}$

Passaggio 3.4.8

Scomponi $3$ da $3 t + 9$ .

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Passaggio 3.4.8.1

Scomponi $3$ da $3 t$ .

$- \frac{50 t (3 (t) + 9)}{{(t + 3)}^{4}}$

Passaggio 3.4.8.2

Scomponi $3$ da $9$ .

$- \frac{50 t (3 t + 3 \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Passaggio 3.4.8.3

Scomponi $3$ da $3 t + 3 \cdot 3$ .

$- \frac{50 t (3 (t + 3))}{{(t + 3)}^{4}}$

$- \frac{50 t \cdot 3 (t + 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Passaggio 3.4.9

Moltiplica $3$ per $50$ .

$- \frac{150 t (t + 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Passaggio 3.5

Elimina il fattore comune di $t + 3$ e ${(t + 3)}^{4}$ .

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Passaggio 3.5.1

Scomponi $t + 3$ da $150 t (t + 3)$ .

$- \frac{(t + 3) (150 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Passaggio 3.5.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.5.2.1

Scomponi $t + 3$ da ${(t + 3)}^{4}$ .

$- \frac{(t + 3) (150 t)}{(t + 3) {(t + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{(t + 3) (150 t)}{(t + 3) {(t + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{150 t}{{(t + 3)}^{3}}$