Calcolo Esempi

$f (x) = 8 + \sqrt{520 x - 2 x^{2}}$

Passaggio 1

Differenzia.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 + \sqrt{520 x - 2 x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [\sqrt{520 x - 2 x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [\sqrt{520 x - 2 x^{2}}]$

Passaggio 1.2

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sqrt{520 x - 2 x^{2}}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [\sqrt{520 x - 2 x^{2}}]$ .

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Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{520 x - 2 x^{2}}$ come ${(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$0 + \frac{d}{d x} [{(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 520 x - 2 x^{2}$ .

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Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $520 x - 2 x^{2}$ .

$0 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [520 x - 2 x^{2}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [520 x - 2 x^{2}]$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $520 x - 2 x^{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [520 x - 2 x^{2}]$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $520 x - 2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [520 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$0 + \frac{1}{2} {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [520 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}])$

Passaggio 2.4

Poiché $520$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $520 x$ rispetto a $x$ è $520 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + \frac{1}{2} {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (520 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}])$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + \frac{1}{2} {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (520 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}])$

Passaggio 2.6

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + \frac{1}{2} {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (520 \cdot 1 - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + \frac{1}{2} {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (520 \cdot 1 - 2 (2 x))$

Passaggio 2.8

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (520 \cdot 1 - 2 (2 x))$

Passaggio 2.9

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (520 \cdot 1 - 2 (2 x))$

Passaggio 2.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$0 + \frac{1}{2} {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (520 \cdot 1 - 2 (2 x))$

Passaggio 2.11

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.11.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$0 + \frac{1}{2} {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (520 \cdot 1 - 2 (2 x))$

Passaggio 2.11.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$0 + \frac{1}{2} {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (520 \cdot 1 - 2 (2 x))$

Passaggio 2.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$0 + \frac{1}{2} {(520 x - 2 x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (520 \cdot 1 - 2 (2 x))$

Passaggio 2.13

Moltiplica $520$ per $1$ .

$0 + \frac{1}{2} {(520 x - 2 x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (520 - 2 (2 x))$

Passaggio 2.14

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$0 + \frac{1}{2} {(520 x - 2 x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (520 - 4 x)$

Passaggio 2.15

$\frac{1}{2}$ e ${(520 x - 2 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$0 + \frac{{(520 x - 2 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (520 - 4 x)$

Passaggio 2.16

Sposta ${(520 x - 2 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{1}{2 {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (520 - 4 x)$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Somma $0$ e $\frac{1}{2 {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (520 - 4 x)$ .

$\frac{1}{2 {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (520 - 4 x)$

Passaggio 3.2

Riordina i fattori di $\frac{1}{2 {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (520 - 4 x)$ .

$(520 - 4 x) \frac{1}{2 {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.3

Moltiplica $520 - 4 x$ per $\frac{1}{2 {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{520 - 4 x}{2 {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.4

Scomponi $2$ da $520$ .

$\frac{2 \cdot 260 - 4 x}{2 {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.5

Scomponi $2$ da $- 4 x$ .

$\frac{2 \cdot 260 + 2 (- 2 x)}{2 {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.6

Scomponi $2$ da $2 (260) + 2 (- 2 x)$ .

$\frac{2 (260 - 2 x)}{2 {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.7

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.7.1

Scomponi $2$ da $2 {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (260 - 2 x)}{2 ({(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 3.7.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (260 - 2 x)}{2 {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.7.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{260 - 2 x}{{(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.8

Scomponi $2$ da $260 - 2 x$ .

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Passaggio 3.8.1

Scomponi $2$ da $260$ .

$\frac{2 (130) - 2 x}{{(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.8.2

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$\frac{2 (130) + 2 (- x)}{{(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.8.3

Scomponi $2$ da $2 (130) + 2 (- x)$ .

$\frac{2 (130 - x)}{{(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$