Calcolo Esempi

$f (x) = 4 - x^{2} - \ln (\frac{1}{2} x + 1)$

Passaggio 1

Differenzia.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 - x^{2} - \ln (\frac{1}{2} x + 1)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (\frac{1}{2} x + 1)]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (\frac{1}{2} x + 1)]$

Passaggio 1.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (\frac{1}{2} x + 1)]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Passaggio 2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (\frac{1}{2} x + 1)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 - (2 x) + \frac{d}{d x} [- \ln (\frac{1}{2} x + 1)]$

Passaggio 2.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$0 - 2 x + \frac{d}{d x} [- \ln (\frac{1}{2} x + 1)]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \ln (\frac{1}{2} x + 1)]$ .

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Passaggio 3.1

$\frac{1}{2}$ e $x$ .

$0 - 2 x + \frac{d}{d x} [- \ln (\frac{x}{2} + 1)]$

Passaggio 3.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \ln (\frac{x}{2} + 1)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{2} + 1)]$ .

$0 - 2 x - \frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{2} + 1)]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{x}{2} + 1$ .

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Passaggio 3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x}{2} + 1$ .

$0 - 2 x - (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} + 1])$

Passaggio 3.3.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$0 - 2 x - (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} + 1])$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{2} + 1$ .

$0 - 2 x - (\frac{1}{\frac{x}{2} + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} + 1])$

Passaggio 3.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{x}{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$0 - 2 x - (\frac{1}{\frac{x}{2} + 1} (\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [1]))$

Passaggio 3.5

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 x - (\frac{1}{\frac{x}{2} + 1} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - 2 x - (\frac{1}{\frac{x}{2} + 1} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]))$

Passaggio 3.7

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 - 2 x - (\frac{1}{\frac{x}{2} + 1} (\frac{1}{2} \cdot 1 + 0))$

Passaggio 3.8

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$0 - 2 x - (\frac{1}{\frac{x}{2} + 1} (\frac{1}{2} + 0))$

Passaggio 3.9

Somma $\frac{1}{2}$ e $0$ .

$0 - 2 x - (\frac{1}{\frac{x}{2} + 1} \cdot \frac{1}{2})$

Passaggio 3.10

Moltiplica $\frac{1}{\frac{x}{2} + 1}$ per $\frac{1}{2}$ .

$0 - 2 x - \frac{1}{(\frac{x}{2} + 1) \cdot 2}$

Passaggio 3.11

Sposta $2$ alla sinistra di $\frac{x}{2} + 1$ .

$0 - 2 x - \frac{1}{2 (\frac{x}{2} + 1)}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$0 - 2 x - \frac{1}{2 \frac{x}{2} + 2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.2.1

Sottrai $2 x$ da $0$ .

$- 2 x - \frac{1}{2 \frac{x}{2} + 2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.2

$2$ e $\frac{x}{2}$ .

$- 2 x - \frac{1}{\frac{2 x}{2} + 2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$- 2 x - \frac{1}{\frac{2 x}{2} + 2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.2

Dividi $x$ per $1$ .

$- 2 x - \frac{1}{x + 2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- 2 x - \frac{1}{x + 2}$

Passaggio 4.2.5

Per scrivere $- 2 x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$- 2 x \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - \frac{1}{x + 2}$

Passaggio 4.2.6

$- 2 x$ e $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{- 2 x (x + 2)}{x + 2} - \frac{1}{x + 2}$

Passaggio 4.2.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 2 x (x + 2) - 1}{x + 2}$

Passaggio 4.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2 - 1}{x + 2}$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.3.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 2 - 1}{x + 2}$

Passaggio 4.3.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 2 x \cdot 2 - 1}{x + 2}$

Passaggio 4.3.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 4 x - 1}{x + 2}$

Passaggio 4.4

Scomponi $- 1$ da $- 2 x^{2}$ .

$\frac{- (2 x^{2}) - 4 x - 1}{x + 2}$

Passaggio 4.5

Scomponi $- 1$ da $- 4 x$ .

$\frac{- (2 x^{2}) - (4 x) - 1}{x + 2}$

Passaggio 4.6

Scomponi $- 1$ da $- (2 x^{2}) - (4 x)$ .

$\frac{- (2 x^{2} + 4 x) - 1}{x + 2}$

Passaggio 4.7

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x^{2} + 4 x) - 1 (1)}{x + 2}$

Passaggio 4.8

Scomponi $- 1$ da $- (2 x^{2} + 4 x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x^{2} + 4 x + 1)}{x + 2}$

Passaggio 4.9

Riscrivi $- (2 x^{2} + 4 x + 1)$ come $- 1 (2 x^{2} + 4 x + 1)$ .

$\frac{- 1 (2 x^{2} + 4 x + 1)}{x + 2}$

Passaggio 4.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2 x^{2} + 4 x + 1}{x + 2}$