Calcolo Esempi

$f (x) = 4 x^{2} \sqrt{3 x - 8}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3 x - 8}$ come ${(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2} {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2} {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2} {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (x^{2} \frac{d}{d x} [{(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}] + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 3 x - 8$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x - 8$ .

$4 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3 x - 8]) + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x - 8]) + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x - 8$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x - 8]) + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 8]) + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 8]) + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} {(3 x - 8)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 8]) + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} {(3 x - 8)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 8]) + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} {(3 x - 8)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 8]) + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 8

Riduci le frazioni.

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Passaggio 8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} {(3 x - 8)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 8]) + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 8.2

$\frac{1}{2}$ e ${(3 x - 8)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 (x^{2} (\frac{{(3 x - 8)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 x - 8]) + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 8.3

Sposta ${(3 x - 8)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x - 8]) + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 8.4

$\frac{1}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x - 8] + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 9

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]) + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 10

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]) + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 11

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]) + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 12

Moltiplica $3$ per $1$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} (3 + \frac{d}{d x} [- 8]) + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 13

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} (3 + 0) + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 14

Riduci le frazioni.

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Passaggio 14.1

Somma $3$ e $0$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 3 + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 14.2

$\frac{x^{2}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$ e $3$ .

$4 (\frac{x^{2} \cdot 3}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 14.3

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$4 (\frac{3 \cdot x^{2}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 15

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 (\frac{3 x^{2}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} (2 x))$

Passaggio 16

Sposta $2$ alla sinistra di ${(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{3 x^{2}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} x)$

Passaggio 17

Combina $\frac{3 x^{2}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$ e $2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} x$ utilizzando un comune denominatore.

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Passaggio 17.1

Sposta ${(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{3 x^{2}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 17.2

Per scrivere $2 x {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 (\frac{3 x^{2}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 17.3

$2 x {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 (\frac{3 x^{2}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 x {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} (2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 17.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 \frac{3 x^{2} + 2 x {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} (2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 18

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 4 x {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 19

Moltiplica ${(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 19.1

Sposta ${(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 4 x ({(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 19.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 \frac{3 x^{2} + 4 x {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 19.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 \frac{3 x^{2} + 4 x {(3 x - 8)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 19.4

Somma $1$ e $1$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 4 x {(3 x - 8)}^{\frac{2}{2}}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 19.5

Dividi $2$ per $2$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 4 x {(3 x - 8)}^{1}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 20

Semplifica $4 x {(3 x - 8)}^{1}$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 4 x (3 x - 8)}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 21

$4$ e $\frac{3 x^{2} + 4 x (3 x - 8)}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 (3 x^{2} + 4 x (3 x - 8))}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22

Scomponi $2$ da $4 (3 x^{2} + 4 x (3 x - 8))$ .

$\frac{2 (2 (3 x^{2} + 4 x (3 x - 8)))}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 23

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 23.1

Scomponi $2$ da $2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (2 (3 x^{2} + 4 x (3 x - 8)))}{2 ({(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 23.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (2 (3 x^{2} + 4 x (3 x - 8)))}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 23.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 (3 x^{2} + 4 x (3 x - 8))}{{(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 24

Semplifica.

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Passaggio 24.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (3 x^{2} + 4 x (3 x) + 4 x \cdot - 8)}{{(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 24.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (3 x^{2}) + 2 (4 x (3 x)) + 2 (4 x \cdot - 8)}{{(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 24.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 24.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 24.3.1.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{6 x^{2} + 2 (4 x (3 x)) + 2 (4 x \cdot - 8)}{{(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 24.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 24.3.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{6 x^{2} + 2 (4 (x \cdot x) \cdot 3) + 2 (4 x \cdot - 8)}{{(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 24.3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{6 x^{2} + 2 (4 x^{2} \cdot 3) + 2 (4 x \cdot - 8)}{{(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 24.3.1.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\frac{6 x^{2} + 2 (12 x^{2}) + 2 (4 x \cdot - 8)}{{(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 24.3.1.4

Moltiplica $12$ per $2$ .

$\frac{6 x^{2} + 24 x^{2} + 2 (4 x \cdot - 8)}{{(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 24.3.1.5

Moltiplica $- 8$ per $4$ .

$\frac{6 x^{2} + 24 x^{2} + 2 (- 32 x)}{{(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 24.3.1.6

Moltiplica $- 32$ per $2$ .

$\frac{6 x^{2} + 24 x^{2} - 64 x}{{(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 24.3.2

Somma $6 x^{2}$ e $24 x^{2}$ .

$\frac{30 x^{2} - 64 x}{{(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 24.4

Scomponi $2 x$ da $30 x^{2} - 64 x$ .

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Passaggio 24.4.1

Scomponi $2 x$ da $30 x^{2}$ .

$\frac{2 x (15 x) - 64 x}{{(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 24.4.2

Scomponi $2 x$ da $- 64 x$ .

$\frac{2 x (15 x) + 2 x (- 32)}{{(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 24.4.3

Scomponi $2 x$ da $2 x (15 x) + 2 x (- 32)$ .

$\frac{2 x (15 x - 32)}{{(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$