Calcolo Esempi

$f (x) = 4 x^{2} \sqrt{x^{2} - 1}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{2} - 1}$ come ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 1$ .

$4 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 1$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 8

Riduci le frazioni.

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Passaggio 8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 8.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 (x^{2} (\frac{{(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 8.3

Sposta ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 8.4

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 9

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 12

Riduci le frazioni.

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Passaggio 12.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 12.2

$2$ e $\frac{x^{2}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 (\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 12.3

$\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$4 (\frac{2 x^{2} x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 13

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$4 (\frac{2 (x^{1} x^{2})}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 14

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 (\frac{2 x^{1 + 2}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 15

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 15.1

Somma $1$ e $2$ .

$4 (\frac{2 x^{3}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 15.2

Elimina il fattore comune.

$4 (\frac{2 x^{3}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 15.3

Riscrivi l'espressione.

$4 (\frac{x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 16

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 (\frac{x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x))$

Passaggio 17

Sposta $2$ alla sinistra di ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x)$

Passaggio 18

Combina $\frac{x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e $2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x$ utilizzando un comune denominatore.

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Passaggio 18.1

Sposta ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 18.2

Per scrivere $2 x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 18.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 \frac{x^{3} + 2 x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 19

Moltiplica ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 19.1

Sposta ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{x^{3} + 2 x ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 19.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 \frac{x^{3} + 2 x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 19.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 \frac{x^{3} + 2 x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 19.4

Somma $1$ e $1$ .

$4 \frac{x^{3} + 2 x {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 19.5

Dividi $2$ per $2$ .

$4 \frac{x^{3} + 2 x {(x^{2} - 1)}^{1}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 20

Semplifica $2 x {(x^{2} - 1)}^{1}$ .

$4 \frac{x^{3} + 2 x (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 21

$4$ e $\frac{x^{3} + 2 x (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 (x^{3} + 2 x (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22

Semplifica.

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Passaggio 22.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 (x^{3} + 2 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 x^{3} + 4 (2 x \cdot x^{2}) + 4 (2 x \cdot - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 22.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 22.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 22.3.1.1.1

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{4 x^{3} + 4 (2 (x^{2} x)) + 4 (2 x \cdot - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22.3.1.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

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Passaggio 22.3.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{4 x^{3} + 4 (2 (x^{2} x^{1})) + 4 (2 x \cdot - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22.3.1.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{4 x^{3} + 4 (2 x^{2 + 1}) + 4 (2 x \cdot - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22.3.1.1.3

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{4 x^{3} + 4 (2 x^{3}) + 4 (2 x \cdot - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22.3.1.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{4 x^{3} + 8 x^{3} + 4 (2 x \cdot - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{4 x^{3} + 8 x^{3} + 4 (- 2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22.3.1.4

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$\frac{4 x^{3} + 8 x^{3} - 8 x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22.3.2

Somma $4 x^{3}$ e $8 x^{3}$ .

$\frac{12 x^{3} - 8 x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22.4

Scomponi $4 x$ da $12 x^{3} - 8 x$ .

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Passaggio 22.4.1

Scomponi $4 x$ da $12 x^{3}$ .

$\frac{4 x (3 x^{2}) - 8 x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22.4.2

Scomponi $4 x$ da $- 8 x$ .

$\frac{4 x (3 x^{2}) + 4 x (- 2)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22.4.3

Scomponi $4 x$ da $4 x (3 x^{2}) + 4 x (- 2)$ .

$\frac{4 x (3 x^{2} - 2)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$