Calcolo Esempi

$f (x) = 4 arccsc (\tan (e^{x}))$

Passaggio 1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 arccsc (\tan (e^{x}))$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [arccsc (\tan (e^{x}))]$ .

$4 \frac{d}{d x} [arccsc (\tan (e^{x}))]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = arccsc (x)$ e $g (x) = \tan (e^{x})$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\tan (e^{x})$ .

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [arccsc (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan (e^{x})])$

Passaggio 2.2

La derivata di $arccsc (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \frac{1}{u_{1} \sqrt{{u_{1}}^{2} - 1}}$ .

$4 (- \frac{1}{u_{1} \sqrt{{u_{1}}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [\tan (e^{x})])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\tan (e^{x})$ .

$4 (- \frac{1}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}} \frac{d}{d x} [\tan (e^{x})])$

Passaggio 3

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$- 4 (\frac{1}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}} \frac{d}{d x} [\tan (e^{x})])$

Passaggio 3.2

$\frac{1}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}}$ e $- 4$ .

$\frac{- 4}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}} \frac{d}{d x} [\tan (e^{x})]$

Passaggio 3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{4}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}} \frac{d}{d x} [\tan (e^{x})]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = e^{x}$ .

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Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $e^{x}$ .

$- \frac{4}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}} (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Passaggio 4.2

La derivata di $\tan (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\sec^{2} (u_{2})$ .

$- \frac{4}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}} (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $e^{x}$ .

$- \frac{4}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}} (\sec^{2} (e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Passaggio 5

Riduci le frazioni.

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Passaggio 5.1

$\sec^{2} (e^{x})$ e $\frac{4}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}}$ .

$- \frac{\sec^{2} (e^{x}) \cdot 4}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 5.2

Sposta $4$ alla sinistra di $\sec^{2} (e^{x})$ .

$- \frac{4 \cdot \sec^{2} (e^{x})}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 6

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$- \frac{4 \sec^{2} (e^{x})}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}} e^{x}$

Passaggio 7

Riduci le frazioni.

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Passaggio 7.1

$e^{x}$ e $\frac{4 \sec^{2} (e^{x})}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}}$ .

$- \frac{e^{x} (4 \sec^{2} (e^{x}))}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}}$

Passaggio 7.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- \frac{4 e^{x} \sec^{2} (e^{x})}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}}$