Calcolo Esempi

$f (x) = 4 \log_{7} (\sqrt{x} - 2)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 \log_{7} (x^{\frac{1}{2}} - 2)]$

Passaggio 1.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 \log_{7} (x^{\frac{1}{2}} - 2)$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\log_{7} (x^{\frac{1}{2}} - 2)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\log_{7} (x^{\frac{1}{2}} - 2)]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \log_{7} (x)$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}} - 2$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{\frac{1}{2}} - 2$ .

$4 (\frac{d}{d u} [\log_{7} (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 2])$

Passaggio 2.2

La derivata di $\log_{7} (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u \ln (7)}$ .

$4 (\frac{1}{u \ln (7)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 2])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{\frac{1}{2}} - 2$ .

$4 (\frac{1}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 2])$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

$\frac{1}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)}$ e $4$ .

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 2]$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{\frac{1}{2}} - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 2])$

Passaggio 4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2])$

Passaggio 5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2])$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2])$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2])$

Passaggio 7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2])$

Passaggio 8

Riduci le frazioni.

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Passaggio 8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2])$

Passaggio 8.2

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2])$

Passaggio 8.3

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2])$

Passaggio 9

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0)$

Passaggio 10

Semplifica i termini.

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Passaggio 10.1

Somma $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.2

Moltiplica $\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)}$ per $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7) (2 x^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 10.3

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7) (2 x^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 11

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 11.1

Scomponi $2$ da $(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7) (2 x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 ((x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7) (x^{\frac{1}{2}}))}$

Passaggio 11.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 2}{2 ((x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7) (x^{\frac{1}{2}}))}$

Passaggio 11.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7) (x^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2}{(x^{\frac{1}{2}} \ln (7) - 2 \ln (7)) x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 12.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}} \ln (7) x^{\frac{1}{2}} - 2 \ln (7) x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 12.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 12.3.1

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $x^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 12.3.1.1

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} \ln (7) - 2 \ln (7) x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 12.3.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \ln (7) - 2 \ln (7) x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 12.3.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2}{x^{\frac{1 + 1}{2}} \ln (7) - 2 \ln (7) x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 12.3.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2}{x^{\frac{2}{2}} \ln (7) - 2 \ln (7) x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 12.3.1.5

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{2}{x^{1} \ln (7) - 2 \ln (7) x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 12.3.2

Semplifica $x^{1} \ln (7)$ .

$\frac{2}{x \ln (7) - 2 \ln (7) x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 12.4

Riordina i termini.

$\frac{2}{x \ln (7) - 2 x^{\frac{1}{2}} \ln (7)}$

Passaggio 12.5

Scomponi $x^{\frac{1}{2}} \ln (7)$ da $x \ln (7) - 2 x^{\frac{1}{2}} \ln (7)$ .

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Passaggio 12.5.1

Scomponi $x^{\frac{1}{2}} \ln (7)$ da $x \ln (7)$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}} \ln (7) (x^{\frac{1}{2}}) - 2 x^{\frac{1}{2}} \ln (7)}$

Passaggio 12.5.2

Scomponi $x^{\frac{1}{2}} \ln (7)$ da $- 2 x^{\frac{1}{2}} \ln (7)$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}} \ln (7) (x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \ln (7) (- 2)}$

Passaggio 12.5.3

Scomponi $x^{\frac{1}{2}} \ln (7)$ da $x^{\frac{1}{2}} \ln (7) (x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \ln (7) (- 2)$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}} \ln (7) (x^{\frac{1}{2}} - 2)}$