Calcolo Esempi

$f (x) = 3 \ln (x^{3} - 2 x^{2} + 17 x + 1)$

Passaggio 1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 \ln (x^{3} - 2 x^{2} + 17 x + 1)$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\ln (x^{3} - 2 x^{2} + 17 x + 1)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\ln (x^{3} - 2 x^{2} + 17 x + 1)]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{3} - 2 x^{2} + 17 x + 1$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{3} - 2 x^{2} + 17 x + 1$ .

$3 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x^{2} + 17 x + 1])$

Passaggio 2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$3 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x^{2} + 17 x + 1])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{3} - 2 x^{2} + 17 x + 1$ .

$3 (\frac{1}{x^{3} - 2 x^{2} + 17 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x^{2} + 17 x + 1])$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

$\frac{1}{x^{3} - 2 x^{2} + 17 x + 1}$ e $3$ .

$\frac{3}{x^{3} - 2 x^{2} + 17 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x^{2} + 17 x + 1]$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 2 x^{2} + 17 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [17 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{3}{x^{3} - 2 x^{2} + 17 x + 1} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [17 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{3}{x^{3} - 2 x^{2} + 17 x + 1} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [17 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 3.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{3}{x^{3} - 2 x^{2} + 17 x + 1} (3 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [17 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{3}{x^{3} - 2 x^{2} + 17 x + 1} (3 x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [17 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 3.6

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{3}{x^{3} - 2 x^{2} + 17 x + 1} (3 x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [17 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 3.7

Poiché $17$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $17 x$ rispetto a $x$ è $17 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3}{x^{3} - 2 x^{2} + 17 x + 1} (3 x^{2} - 4 x + 17 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 3.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{3}{x^{3} - 2 x^{2} + 17 x + 1} (3 x^{2} - 4 x + 17 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 3.9

Moltiplica $17$ per $1$ .

$\frac{3}{x^{3} - 2 x^{2} + 17 x + 1} (3 x^{2} - 4 x + 17 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 3.10

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{3}{x^{3} - 2 x^{2} + 17 x + 1} (3 x^{2} - 4 x + 17 + 0)$

Passaggio 3.11

Somma $3 x^{2} - 4 x + 17$ e $0$ .

$\frac{3}{x^{3} - 2 x^{2} + 17 x + 1} (3 x^{2} - 4 x + 17)$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riordina i fattori di $\frac{3}{x^{3} - 2 x^{2} + 17 x + 1} (3 x^{2} - 4 x + 17)$ .

$(3 x^{2} - 4 x + 17) \frac{3}{x^{3} - 2 x^{2} + 17 x + 1}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $3 x^{2} - 4 x + 17$ per $\frac{3}{x^{3} - 2 x^{2} + 17 x + 1}$ .

$\frac{(3 x^{2} - 4 x + 17) \cdot 3}{x^{3} - 2 x^{2} + 17 x + 1}$

Passaggio 4.3

Sposta $3$ alla sinistra di $3 x^{2} - 4 x + 17$ .

$\frac{3 (3 x^{2} - 4 x + 17)}{x^{3} - 2 x^{2} + 17 x + 1}$