Calcolo Esempi

$f (x) = 3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

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Passaggio 2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$3 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

Passaggio 2.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 3 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \cos^{3} (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]$ .

$- 3 \sin (x) - \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\cos (x)$ .

$- 3 \sin (x) - (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- 3 \sin (x) - (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (x)$ .

$- 3 \sin (x) - (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 3.3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$- 3 \sin (x) - (3 \cos^{2} (x) (- \sin (x)))$

Passaggio 3.4

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 3 \sin (x) - (- 3 \cos^{2} (x) \sin (x))$

Passaggio 3.5

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$- 3 \sin (x) + 3 \cos^{2} (x) \sin (x)$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riordina i termini.

$3 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$

Passaggio 4.2

Scomponi $3 \sin (x)$ da $3 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$ .

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Passaggio 4.2.1

Scomponi $3 \sin (x)$ da $3 \cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

Passaggio 4.2.2

Scomponi $3 \sin (x)$ da $- 3 \sin (x)$ .

$3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 1)$

Passaggio 4.2.3

Scomponi $3 \sin (x)$ da $3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 1)$ .

$3 \sin (x) (\cos^{2} (x) - 1)$

Passaggio 4.3

Riordina $\cos^{2} (x)$ e $- 1$ .

$3 \sin (x) (- 1 + \cos^{2} (x))$

Passaggio 4.4

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$3 \sin (x) (- 1 (1) + \cos^{2} (x))$

Passaggio 4.5

Scomponi $- 1$ da $\cos^{2} (x)$ .

$3 \sin (x) (- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)))$

Passaggio 4.6

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$3 \sin (x) (- 1 (1 - \cos^{2} (x)))$

Passaggio 4.7

Riscrivi $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ come $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$3 \sin (x) (- (1 - \cos^{2} (x)))$

Passaggio 4.8

Applica l'identità pitagorica.

$3 \sin (x) (- \sin^{2} (x))$

Passaggio 4.9

Moltiplica $\sin (x)$ per $\sin^{2} (x)$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.9.1

Sposta $\sin^{2} (x)$ .

$3 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cdot - 1$

Passaggio 4.9.2

Moltiplica $\sin^{2} (x)$ per $\sin (x)$ .

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Passaggio 4.9.2.1

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$3 (\sin^{2} (x) \sin^{1} (x)) \cdot - 1$

Passaggio 4.9.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 {\sin (x)}^{2 + 1} \cdot - 1$

Passaggio 4.9.3

Somma $2$ e $1$ .

$3 \sin^{3} (x) \cdot - 1$

Passaggio 4.10

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 3 \sin^{3} (x)$