Calcolo Esempi

$f (x) = 30 {(65 + 5 t)}^{2} - 1300 t$

Passaggio 1

Riscrivi ${(65 + 5 t)}^{2}$ come $(65 + 5 t) (65 + 5 t)$ .

$\frac{d}{d t} [30 ((65 + 5 t) (65 + 5 t)) - 1300 t]$

Passaggio 2

Espandi $(65 + 5 t) (65 + 5 t)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d t} [30 (65 (65 + 5 t) + 5 t (65 + 5 t)) - 1300 t]$

Passaggio 2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d t} [30 (65 \cdot 65 + 65 (5 t) + 5 t (65 + 5 t)) - 1300 t]$

Passaggio 2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d t} [30 (65 \cdot 65 + 65 (5 t) + 5 t \cdot 65 + 5 t (5 t)) - 1300 t]$

Passaggio 3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.1

Moltiplica $65$ per $65$ .

$\frac{d}{d t} [30 (4225 + 65 (5 t) + 5 t \cdot 65 + 5 t (5 t)) - 1300 t]$

Passaggio 3.1.2

Moltiplica $5$ per $65$ .

$\frac{d}{d t} [30 (4225 + 325 t + 5 t \cdot 65 + 5 t (5 t)) - 1300 t]$

Passaggio 3.1.3

Moltiplica $65$ per $5$ .

$\frac{d}{d t} [30 (4225 + 325 t + 325 t + 5 t (5 t)) - 1300 t]$

Passaggio 3.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d}{d t} [30 (4225 + 325 t + 325 t + 5 \cdot 5 t \cdot t) - 1300 t]$

Passaggio 3.1.5

Moltiplica $t$ per $t$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.1.5.1

Sposta $t$ .

$\frac{d}{d t} [30 (4225 + 325 t + 325 t + 5 \cdot 5 (t \cdot t)) - 1300 t]$

Passaggio 3.1.5.2

Moltiplica $t$ per $t$ .

$\frac{d}{d t} [30 (4225 + 325 t + 325 t + 5 \cdot 5 t^{2}) - 1300 t]$

Passaggio 3.1.6

Moltiplica $5$ per $5$ .

$\frac{d}{d t} [30 (4225 + 325 t + 325 t + 25 t^{2}) - 1300 t]$

Passaggio 3.2

Somma $325 t$ e $325 t$ .

$\frac{d}{d t} [30 (4225 + 650 t + 25 t^{2}) - 1300 t]$

Passaggio 4

Secondo la regola della somma, la derivata di $30 (4225 + 650 t + 25 t^{2}) - 1300 t$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [30 (4225 + 650 t + 25 t^{2})] + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$ .

$\frac{d}{d t} [30 (4225 + 650 t + 25 t^{2})] + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$

Passaggio 5

Calcola $\frac{d}{d t} [30 (4225 + 650 t + 25 t^{2})]$ .

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Passaggio 5.1

Poiché $30$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $30 (4225 + 650 t + 25 t^{2})$ rispetto a $t$ è $30 \frac{d}{d t} [4225 + 650 t + 25 t^{2}]$ .

$30 \frac{d}{d t} [4225 + 650 t + 25 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$

Passaggio 5.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $4225 + 650 t + 25 t^{2}$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [4225] + \frac{d}{d t} [650 t] + \frac{d}{d t} [25 t^{2}]$ .

$30 (\frac{d}{d t} [4225] + \frac{d}{d t} [650 t] + \frac{d}{d t} [25 t^{2}]) + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$

Passaggio 5.3

Poiché $4225$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $4225$ rispetto a $t$ è $0$ .

$30 (0 + \frac{d}{d t} [650 t] + \frac{d}{d t} [25 t^{2}]) + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$

Passaggio 5.4

Poiché $650$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $650 t$ rispetto a $t$ è $650 \frac{d}{d t} [t]$ .

$30 (0 + 650 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [25 t^{2}]) + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$

Passaggio 5.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$30 (0 + 650 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [25 t^{2}]) + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$

Passaggio 5.6

Poiché $25$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $25 t^{2}$ rispetto a $t$ è $25 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$30 (0 + 650 \cdot 1 + 25 \frac{d}{d t} [t^{2}]) + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$

Passaggio 5.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$30 (0 + 650 \cdot 1 + 25 (2 t)) + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$

Passaggio 5.8

Moltiplica $650$ per $1$ .

$30 (0 + 650 + 25 (2 t)) + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$

Passaggio 5.9

Somma $0$ e $650$ .

$30 (650 + 25 (2 t)) + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$

Passaggio 5.10

Moltiplica $2$ per $25$ .

$30 (650 + 50 t) + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$

Passaggio 6

Calcola $\frac{d}{d t} [- 1300 t]$ .

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Passaggio 6.1

Poiché $- 1300$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 1300 t$ rispetto a $t$ è $- 1300 \frac{d}{d t} [t]$ .

$30 (650 + 50 t) - 1300 \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 6.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$30 (650 + 50 t) - 1300 \cdot 1$

Passaggio 6.3

Moltiplica $- 1300$ per $1$ .

$30 (650 + 50 t) - 1300$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

$30 \cdot 650 + 30 (50 t) - 1300$

Passaggio 7.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 7.2.1

Moltiplica $30$ per $650$ .

$19500 + 30 (50 t) - 1300$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica $50$ per $30$ .

$19500 + 1500 t - 1300$

Passaggio 7.2.3

Sottrai $1300$ da $19500$ .

$1500 t + 18200$