Calcolo Esempi

$f (x) = - 30 {(3 x - 6)}^{- 2}$

Passaggio 1

Poiché $- 30$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 30 {(3 x - 6)}^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- 30 \frac{d}{d x} [{(3 x - 6)}^{- 2}]$ .

$- 30 \frac{d}{d x} [{(3 x - 6)}^{- 2}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = 3 x - 6$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x - 6$ .

$- 30 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [3 x - 6])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$- 30 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [3 x - 6])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x - 6$ .

$- 30 (- 2 {(3 x - 6)}^{- 3} \frac{d}{d x} [3 x - 6])$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Moltiplica $- 2$ per $- 30$ .

$60 ({(3 x - 6)}^{- 3} \frac{d}{d x} [3 x - 6])$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$60 {(3 x - 6)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Passaggio 3.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$60 {(3 x - 6)}^{- 3} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$60 {(3 x - 6)}^{- 3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Passaggio 3.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$60 {(3 x - 6)}^{- 3} (3 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Passaggio 3.6

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$60 {(3 x - 6)}^{- 3} (3 + 0)$

Passaggio 3.7

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.7.1

Somma $3$ e $0$ .

$60 {(3 x - 6)}^{- 3} \cdot 3$

Passaggio 3.7.2

Moltiplica $3$ per $60$ .

$180 {(3 x - 6)}^{- 3}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$180 \frac{1}{{(3 x - 6)}^{3}}$

Passaggio 4.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.2.1

Scomponi $3$ da $3 x - 6$ .

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Passaggio 4.2.1.1

Scomponi $3$ da $3 x$ .

$180 \frac{1}{{(3 (x) - 6)}^{3}}$

Passaggio 4.2.1.2

Scomponi $3$ da $- 6$ .

$180 \frac{1}{{(3 x + 3 \cdot - 2)}^{3}}$

Passaggio 4.2.1.3

Scomponi $3$ da $3 x + 3 \cdot - 2$ .

$180 \frac{1}{{(3 (x - 2))}^{3}}$

Passaggio 4.2.2

Applica la regola del prodotto a $3 (x - 2)$ .

$180 \frac{1}{3^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Passaggio 4.2.3

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$180 \frac{1}{27 {(x - 2)}^{3}}$

Passaggio 4.3

Elimina il fattore comune di $9$ .

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Passaggio 4.3.1

Scomponi $9$ da $180$ .

$9 (20) \frac{1}{27 {(x - 2)}^{3}}$

Passaggio 4.3.2

Scomponi $9$ da $27 {(x - 2)}^{3}$ .

$9 (20) \frac{1}{9 (3 {(x - 2)}^{3})}$

Passaggio 4.3.3

Elimina il fattore comune.

$9 \cdot 20 \frac{1}{9 (3 {(x - 2)}^{3})}$

Passaggio 4.3.4

Riscrivi l'espressione.

$20 \frac{1}{3 {(x - 2)}^{3}}$

Passaggio 4.4

$20$ e $\frac{1}{3 {(x - 2)}^{3}}$ .

$\frac{20}{3 {(x - 2)}^{3}}$