Calcolo Esempi

$h (x) = {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{4}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$4 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 1 + \sin (x)$ .

$4 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{3} \frac{(1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$4 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{3} \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$4 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{3} \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 4.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{3} \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 4.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$4 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{3} \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 5

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$4 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{3} \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 6

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$4 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{3} \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 7

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$4 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{3} \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{3} \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 9

Somma $1$ e $1$ .

$4 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{3} \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 10

$\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$ e $4$ .

$\frac{((1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)) \cdot 4}{{(1 + \sin (x))}^{2}} {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{3}$

Passaggio 11

Sposta $4$ alla sinistra di $(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)$ .

$\frac{4 \cdot ((1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{3}$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{4 ((1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{3}}$

Passaggio 12.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 (1 (- \sin (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{3}}$

Passaggio 12.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 (1 (- \sin (x))) + 4 (\sin (x) (- \sin (x))) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{3}}$

Passaggio 12.4

Raccogli i termini.

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Passaggio 12.4.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{4 (- 1 \sin (x)) + 4 (\sin (x) (- \sin (x))) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{3}}$

Passaggio 12.4.2

Riscrivi $- 1 \sin (x)$ come $- \sin (x)$ .

$\frac{4 (- \sin (x)) + 4 (\sin (x) (- \sin (x))) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{3}}$

Passaggio 12.4.3

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{- 4 \sin (x) + 4 (\sin (x) (- \sin (x))) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{3}}$

Passaggio 12.4.4

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 4 \sin (x) + 4 (- (\sin^{1} (x) \sin (x))) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{3}}$

Passaggio 12.4.5

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 4 \sin (x) + 4 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{3}}$

Passaggio 12.4.6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 4 \sin (x) + 4 (- {\sin (x)}^{1 + 1}) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{3}}$

Passaggio 12.4.7

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- 4 \sin (x) + 4 (- \sin^{2} (x)) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{3}}$

Passaggio 12.4.8

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{- 4 \sin (x) - 4 \sin^{2} (x) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{3}}$

Passaggio 12.4.9

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{- 4 \sin (x) - 4 \sin^{2} (x) - 4 \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{3}}$

Passaggio 12.4.10

Moltiplica $\frac{- 4 \sin (x) - 4 \sin^{2} (x) - 4 \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$ per $\frac{\cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{3}}$ .

$\frac{(- 4 \sin (x) - 4 \sin^{2} (x) - 4 \cos^{2} (x)) \cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2} {(1 + \sin (x))}^{3}}$

Passaggio 12.4.11

Moltiplica ${(1 + \sin (x))}^{2}$ per ${(1 + \sin (x))}^{3}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 12.4.11.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{(- 4 \sin (x) - 4 \sin^{2} (x) - 4 \cos^{2} (x)) \cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2 + 3}}$

Passaggio 12.4.11.2

Somma $2$ e $3$ .

$\frac{(- 4 \sin (x) - 4 \sin^{2} (x) - 4 \cos^{2} (x)) \cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{5}}$

Passaggio 12.5

Riordina i termini.

$\frac{\cos^{3} (x) (- 4 \sin (x) - 4 \sin^{2} (x) - 4 \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{5}}$

Passaggio 12.6

Scomponi $- 4$ da $- 4 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{\cos^{3} (x) (- 4 \sin (x) - 4 (\sin^{2} (x)) - 4 \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{5}}$

Passaggio 12.7

Scomponi $- 4$ da $- 4 \cos^{2} (x)$ .

$\frac{\cos^{3} (x) (- 4 \sin (x) - 4 (\sin^{2} (x)) - 4 (\cos^{2} (x)))}{{(1 + \sin (x))}^{5}}$

Passaggio 12.8

Scomponi $- 4$ da $- 4 (\sin^{2} (x)) - 4 (\cos^{2} (x))$ .

$\frac{\cos^{3} (x) (- 4 \sin (x) - 4 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)))}{{(1 + \sin (x))}^{5}}$

Passaggio 12.9

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{\cos^{3} (x) (- 4 \sin (x) - 4 \cdot 1)}{{(1 + \sin (x))}^{5}}$

Passaggio 12.10

Scomponi $- 4$ da $- 4 \sin (x) - 4 \cdot 1$ .

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Passaggio 12.10.1

Scomponi $- 4$ da $- 4 \sin (x)$ .

$\frac{\cos^{3} (x) (- 4 (\sin (x)) - 4 \cdot 1)}{{(1 + \sin (x))}^{5}}$

Passaggio 12.10.2

Scomponi $- 4$ da $- 4 \cdot 1$ .

$\frac{\cos^{3} (x) (- 4 (\sin (x)) - 4 (1))}{{(1 + \sin (x))}^{5}}$

Passaggio 12.10.3

Scomponi $- 4$ da $- 4 (\sin (x)) - 4 (1)$ .

$\frac{\cos^{3} (x) (- 4 (\sin (x) + 1))}{{(1 + \sin (x))}^{5}}$

$\frac{\cos^{3} (x) \cdot - 4 (\sin (x) + 1)}{{(1 + \sin (x))}^{5}}$

Passaggio 12.11

Elimina il fattore comune di $\sin (x) + 1$ e ${(1 + \sin (x))}^{5}$ .

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Passaggio 12.11.1

Riordina i termini.

$\frac{\cos^{3} (x) \cdot - 4 (1 + \sin (x))}{{(1 + \sin (x))}^{5}}$

Passaggio 12.11.2

Scomponi $1 + \sin (x)$ da $\cos^{3} (x) \cdot - 4 (1 + \sin (x))$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (\cos^{3} (x) \cdot - 4)}{{(1 + \sin (x))}^{5}}$

Passaggio 12.11.3

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 12.11.3.1

Scomponi $1 + \sin (x)$ da ${(1 + \sin (x))}^{5}$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (\cos^{3} (x) \cdot - 4)}{(1 + \sin (x)) {(1 + \sin (x))}^{4}}$

Passaggio 12.11.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(1 + \sin (x)) (\cos^{3} (x) \cdot - 4)}{(1 + \sin (x)) {(1 + \sin (x))}^{4}}$

Passaggio 12.11.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\cos^{3} (x) \cdot - 4}{{(1 + \sin (x))}^{4}}$

Passaggio 12.12

Sposta $- 4$ alla sinistra di $\cos^{3} (x)$ .

$\frac{- 4 \cdot \cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{4}}$

Passaggio 12.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{4 \cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{4}}$