Calcolo Esempi

$h (x) = {(8 - 5 x)}^{3} - 7 {(8 - 5 x)}^{2} + 3 (8 - 5 x) - 1$

Passaggio 1

Riscrivi ${(8 - 5 x)}^{2}$ come $(8 - 5 x) (8 - 5 x)$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 ((8 - 5 x) (8 - 5 x)) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

Passaggio 2

Espandi $(8 - 5 x) (8 - 5 x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 (8 (8 - 5 x) - 5 x (8 - 5 x)) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

Passaggio 2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 (8 \cdot 8 + 8 (- 5 x) - 5 x (8 - 5 x)) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

Passaggio 2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 (8 \cdot 8 + 8 (- 5 x) - 5 x \cdot 8 - 5 x (- 5 x)) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

Passaggio 3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Moltiplica $8$ per $8$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 (64 + 8 (- 5 x) - 5 x \cdot 8 - 5 x (- 5 x)) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

Passaggio 3.1.2

Moltiplica $- 5$ per $8$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 (64 - 40 x - 5 x \cdot 8 - 5 x (- 5 x)) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

Passaggio 3.1.3

Moltiplica $8$ per $- 5$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 (64 - 40 x - 40 x - 5 x (- 5 x)) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

Passaggio 3.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 (64 - 40 x - 40 x - 5 \cdot - 5 x \cdot x) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

Passaggio 3.1.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.5.1

Sposta $x$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 (64 - 40 x - 40 x - 5 \cdot - 5 (x \cdot x)) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

Passaggio 3.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 (64 - 40 x - 40 x - 5 \cdot - 5 x^{2}) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

Passaggio 3.1.6

Moltiplica $- 5$ per $- 5$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 (64 - 40 x - 40 x + 25 x^{2}) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

Passaggio 3.2

Sottrai $40 x$ da $- 40 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 (64 - 80 x + 25 x^{2}) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

Passaggio 4

Secondo la regola della somma, la derivata di ${(8 - 5 x)}^{3} - 7 (64 - 80 x + 25 x^{2}) + 3 (8 - 5 x) - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 5

Calcola $\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 8 - 5 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $8 - 5 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [8 - 5 x] + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 5.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [8 - 5 x] + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 5.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $8 - 5 x$ .

$3 {(8 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [8 - 5 x] + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 5.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 - 5 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$3 {(8 - 5 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 5 x]) + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 5.3

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 {(8 - 5 x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]) + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 5.4

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(8 - 5 x)}^{2} (0 - 5 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 5.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 {(8 - 5 x)}^{2} (0 - 5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 5.6

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$3 {(8 - 5 x)}^{2} (0 - 5) + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 5.7

Sottrai $5$ da $0$ .

$3 {(8 - 5 x)}^{2} \cdot - 5 + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 5.8

Moltiplica $- 5$ per $3$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 6

Calcola $\frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})$ rispetto a $x$ è $- 7 \frac{d}{d x} [64 - 80 x + 25 x^{2}]$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 \frac{d}{d x} [64 - 80 x + 25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 6.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $64 - 80 x + 25 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [64] + \frac{d}{d x} [- 80 x] + \frac{d}{d x} [25 x^{2}]$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (\frac{d}{d x} [64] + \frac{d}{d x} [- 80 x] + \frac{d}{d x} [25 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 6.3

Poiché $64$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $64$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (0 + \frac{d}{d x} [- 80 x] + \frac{d}{d x} [25 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 6.4

Poiché $- 80$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 80 x$ rispetto a $x$ è $- 80 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (0 - 80 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 6.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (0 - 80 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 6.6

Poiché $25$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $25 x^{2}$ rispetto a $x$ è $25 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (0 - 80 \cdot 1 + 25 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 6.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (0 - 80 \cdot 1 + 25 (2 x)) + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 6.8

Moltiplica $- 80$ per $1$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (0 - 80 + 25 (2 x)) + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 6.9

Sottrai $80$ da $0$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (- 80 + 25 (2 x)) + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 6.10

Moltiplica $2$ per $25$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (- 80 + 50 x) + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 7

Calcola $\frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 (8 - 5 x)$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [8 - 5 x]$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (- 80 + 50 x) + 3 \frac{d}{d x} [8 - 5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 7.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 - 5 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (- 80 + 50 x) + 3 (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 5 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 7.3

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (- 80 + 50 x) + 3 (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 7.4

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (- 80 + 50 x) + 3 (0 - 5 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 7.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (- 80 + 50 x) + 3 (0 - 5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 7.6

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (- 80 + 50 x) + 3 (0 - 5) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 7.7

Sottrai $5$ da $0$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (- 80 + 50 x) + 3 \cdot - 5 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 7.8

Moltiplica $3$ per $- 5$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (- 80 + 50 x) - 15 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (- 80 + 50 x) - 15 + 0$

Passaggio 9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 \cdot - 80 - 7 (50 x) - 15 + 0$

Passaggio 9.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Moltiplica $- 7$ per $- 80$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} + 560 - 7 (50 x) - 15 + 0$

Passaggio 9.2.2

Moltiplica $50$ per $- 7$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} + 560 - 350 x - 15 + 0$

Passaggio 9.2.3

Sottrai $15$ da $560$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 350 x + 545 + 0$

Passaggio 9.2.4

Somma $- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 350 x + 545$ e $0$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 350 x + 545$

Passaggio 9.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Riscrivi ${(8 - 5 x)}^{2}$ come $(8 - 5 x) (8 - 5 x)$ .

$- 15 ((8 - 5 x) (8 - 5 x)) - 350 x + 545$

Passaggio 9.3.2

Espandi $(8 - 5 x) (8 - 5 x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 15 (8 (8 - 5 x) - 5 x (8 - 5 x)) - 350 x + 545$

Passaggio 9.3.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$- 15 (8 \cdot 8 + 8 (- 5 x) - 5 x (8 - 5 x)) - 350 x + 545$

Passaggio 9.3.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$- 15 (8 \cdot 8 + 8 (- 5 x) - 5 x \cdot 8 - 5 x (- 5 x)) - 350 x + 545$

Passaggio 9.3.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.1.1

Moltiplica $8$ per $8$ .

$- 15 (64 + 8 (- 5 x) - 5 x \cdot 8 - 5 x (- 5 x)) - 350 x + 545$

Passaggio 9.3.3.1.2

Moltiplica $- 5$ per $8$ .

$- 15 (64 - 40 x - 5 x \cdot 8 - 5 x (- 5 x)) - 350 x + 545$

Passaggio 9.3.3.1.3

Moltiplica $8$ per $- 5$ .

$- 15 (64 - 40 x - 40 x - 5 x (- 5 x)) - 350 x + 545$

Passaggio 9.3.3.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 15 (64 - 40 x - 40 x - 5 \cdot - 5 x \cdot x) - 350 x + 545$

Passaggio 9.3.3.1.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.1.5.1

Sposta $x$ .

$- 15 (64 - 40 x - 40 x - 5 \cdot - 5 (x \cdot x)) - 350 x + 545$

Passaggio 9.3.3.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$- 15 (64 - 40 x - 40 x - 5 \cdot - 5 x^{2}) - 350 x + 545$

Passaggio 9.3.3.1.6

Moltiplica $- 5$ per $- 5$ .

$- 15 (64 - 40 x - 40 x + 25 x^{2}) - 350 x + 545$

Passaggio 9.3.3.2

Sottrai $40 x$ da $- 40 x$ .

$- 15 (64 - 80 x + 25 x^{2}) - 350 x + 545$

Passaggio 9.3.4

Applica la proprietà distributiva.

$- 15 \cdot 64 - 15 (- 80 x) - 15 (25 x^{2}) - 350 x + 545$

Passaggio 9.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.5.1

Moltiplica $- 15$ per $64$ .

$- 960 - 15 (- 80 x) - 15 (25 x^{2}) - 350 x + 545$

Passaggio 9.3.5.2

Moltiplica $- 80$ per $- 15$ .

$- 960 + 1200 x - 15 (25 x^{2}) - 350 x + 545$

Passaggio 9.3.5.3

Moltiplica $25$ per $- 15$ .

$- 960 + 1200 x - 375 x^{2} - 350 x + 545$

Passaggio 9.4

Somma $- 960$ e $545$ .

$1200 x - 375 x^{2} - 350 x - 415$

Passaggio 9.5

Sottrai $350 x$ da $1200 x$ .

$- 375 x^{2} + 850 x - 415$