Calcolo Esempi

$h (x) = \frac{\ln (6 t)}{\ln (12 t)}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ è $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ dove $f (t) = \ln (6 t)$ e $g (t) = \ln (12 t)$ .

$\frac{\ln (12 t) \frac{d}{d t} [\ln (6 t)] - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = \ln (t)$ e $g (t) = 6 t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $6 t$ .

$\frac{\ln (12 t) (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [6 t]) - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

Passaggio 2.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{\ln (12 t) (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [6 t]) - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $6 t$ .

$\frac{\ln (12 t) (\frac{1}{6 t} \frac{d}{d t} [6 t]) - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

Passaggio 3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

$\frac{1}{6 t}$ e $\ln (12 t)$ .

$\frac{\frac{\ln (12 t)}{6 t} \frac{d}{d t} [6 t] - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

Passaggio 3.2

Poiché $6$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $6 t$ rispetto a $t$ è $6 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{\frac{\ln (12 t)}{6 t} (6 \frac{d}{d t} [t]) - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

Passaggio 3.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

$6$ e $\frac{\ln (12 t)}{6 t}$ .

$\frac{\frac{6 \ln (12 t)}{6 t} \frac{d}{d t} [t] - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

Passaggio 3.3.2

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{6 \ln (12 t)}{6 t} \frac{d}{d t} [t] - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

Passaggio 3.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{\ln (12 t)}{t} \frac{d}{d t} [t] - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\frac{\ln (12 t)}{t} \cdot 1 - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

Passaggio 3.5

Moltiplica $\frac{\ln (12 t)}{t}$ per $1$ .

$\frac{\frac{\ln (12 t)}{t} - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

Passaggio 4

Moltiplica $\frac{\frac{\ln (12 t)}{t} - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$ per $\frac{t}{t}$ .

$\frac{t}{t} \cdot \frac{\frac{\ln (12 t)}{t} - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

Passaggio 5

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Combina.

$\frac{t (\frac{\ln (12 t)}{t} - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)])}{t \ln^{2} (12 t)}$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{t \frac{\ln (12 t)}{t} + t (- \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)])}{t \ln^{2} (12 t)}$

Passaggio 5.3

Elimina il fattore comune di $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{t \frac{\ln (12 t)}{t} + t (- \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)])}{t \ln^{2} (12 t)}$

Passaggio 5.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\ln (12 t) + t (- \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)])}{t \ln^{2} (12 t)}$

Passaggio 6

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = \ln (t)$ e $g (t) = 12 t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $12 t$ .

$\frac{\ln (12 t) + t (- \ln (6 t) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d t} [12 t]))}{t \ln^{2} (12 t)}$

Passaggio 6.2

La derivata di $\ln (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{\ln (12 t) + t (- \ln (6 t) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d t} [12 t]))}{t \ln^{2} (12 t)}$

Passaggio 6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $12 t$ .

$\frac{\ln (12 t) + t (- \ln (6 t) (\frac{1}{12 t} \frac{d}{d t} [12 t]))}{t \ln^{2} (12 t)}$

Passaggio 7

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

$\frac{1}{12 t}$ e $\ln (6 t)$ .

$\frac{\ln (12 t) + t (- \frac{\ln (6 t)}{12 t} \frac{d}{d t} [12 t])}{t \ln^{2} (12 t)}$

Passaggio 7.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

$t$ e $\frac{\ln (6 t)}{12 t}$ .

$\frac{\ln (12 t) - \frac{t \ln (6 t)}{12 t} \frac{d}{d t} [12 t]}{t \ln^{2} (12 t)}$

Passaggio 7.2.2

Elimina il fattore comune di $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\ln (12 t) - \frac{t \ln (6 t)}{12 t} \frac{d}{d t} [12 t]}{t \ln^{2} (12 t)}$

Passaggio 7.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\ln (12 t) - \frac{\ln (6 t)}{12} \frac{d}{d t} [12 t]}{t \ln^{2} (12 t)}$

Passaggio 7.3

Poiché $12$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $12 t$ rispetto a $t$ è $12 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{\ln (12 t) - \frac{\ln (6 t)}{12} (12 \frac{d}{d t} [t])}{t \ln^{2} (12 t)}$

Passaggio 7.4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Moltiplica $12$ per $- 1$ .

$\frac{\ln (12 t) - 12 \frac{\ln (6 t)}{12} \frac{d}{d t} [t]}{t \ln^{2} (12 t)}$

Passaggio 7.4.2

$- 12$ e $\frac{\ln (6 t)}{12}$ .

$\frac{\ln (12 t) + \frac{- 12 \ln (6 t)}{12} \frac{d}{d t} [t]}{t \ln^{2} (12 t)}$

Passaggio 7.4.3

Elimina il fattore comune di $- 12$ e $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.3.1

Scomponi $12$ da $- 12 \ln (6 t)$ .

$\frac{\ln (12 t) + \frac{12 (- \ln (6 t))}{12} \frac{d}{d t} [t]}{t \ln^{2} (12 t)}$

Passaggio 7.4.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.3.2.1

Scomponi $12$ da $12$ .

$\frac{\ln (12 t) + \frac{12 (- \ln (6 t))}{12 (1)} \frac{d}{d t} [t]}{t \ln^{2} (12 t)}$

Passaggio 7.4.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\ln (12 t) + \frac{12 (- \ln (6 t))}{12 \cdot 1} \frac{d}{d t} [t]}{t \ln^{2} (12 t)}$

Passaggio 7.4.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\ln (12 t) + \frac{- \ln (6 t)}{1} \frac{d}{d t} [t]}{t \ln^{2} (12 t)}$

Passaggio 7.4.3.2.4

Dividi $- \ln (6 t)$ per $1$ .

$\frac{\ln (12 t) - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [t]}{t \ln^{2} (12 t)}$

Passaggio 7.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\ln (12 t) - \ln (6 t) \cdot 1}{t \ln^{2} (12 t)}$

Passaggio 7.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{\ln (12 t) - \ln (6 t)}{t \ln^{2} (12 t)}$

Passaggio 8

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{12 t}{6 t})}{t \ln^{2} (12 t)}$

Passaggio 9

Elimina il fattore comune di $12$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Scomponi $6$ da $12 t$ .

$\frac{\ln (\frac{6 (2 t)}{6 t})}{t \ln^{2} (12 t)}$

Passaggio 9.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Scomponi $6$ da $6 t$ .

$\frac{\ln (\frac{6 (2 t)}{6 (t)})}{t \ln^{2} (12 t)}$

Passaggio 9.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\ln (\frac{6 (2 t)}{6 t})}{t \ln^{2} (12 t)}$

Passaggio 9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\ln (\frac{2 t}{t})}{t \ln^{2} (12 t)}$

Passaggio 10

Elimina il fattore comune di $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\ln (\frac{2 t}{t})}{t \ln^{2} (12 t)}$

Passaggio 10.2

Dividi $2$ per $1$ .

$\frac{\ln (2)}{t \ln^{2} (12 t)}$