Calcolo Esempi

$h (x) = \arccos (\ln (\sqrt{x}))$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\arccos (\ln (x^{\frac{1}{2}}))]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \arccos (x)$ e $g (x) = \ln (x^{\frac{1}{2}})$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\ln (x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arccos (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{1}{2}})]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\arccos (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{1}{2}})]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\ln (x^{\frac{1}{2}})$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})}} \frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{1}{2}})]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})}} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 3.2

La derivata di $\ln (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{u_{2}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})}} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})}} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola di potenza.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{1}{\sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})}}$ .

$- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Passaggio 5

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 6

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 8

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Passaggio 8.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Passaggio 9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Passaggio 10

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})}} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 11

Moltiplica $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ per $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})}}$ .

$- \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 (x^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})})}$

Passaggio 12

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})} x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 13

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 13.1

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $x^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 13.1.1

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})}}$

Passaggio 13.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})}}$

Passaggio 13.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1 + 1}{2}} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})}}$

Passaggio 13.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{2}{2}} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})}}$

Passaggio 13.1.5

Dividi $2$ per $2$ .

$- \frac{1}{2 x^{1} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})}}$

Passaggio 13.2

Semplifica $2 x^{1} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})}$ .

$- \frac{1}{2 x \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})}}$