Calcolo Esempi

$h (x) = 5^{3 x - 5} + e^{x \cos (x)} + \log_{4} (x^{4} + 7 x)$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5^{3 x - 5} + e^{x \cos (x)} + \log_{4} (x^{4} + 7 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5^{3 x - 5}] + \frac{d}{d x} [e^{x \cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [5^{3 x - 5}] + \frac{d}{d x} [e^{x \cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [5^{3 x - 5}]$ .

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = 5^{x}$ e $g (x) = 3 x - 5$ .

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Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $3 x - 5$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [5^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x - 5] + \frac{d}{d x} [e^{x \cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $5$ .

$5^{u_{1}} \ln (5) \frac{d}{d x} [3 x - 5] + \frac{d}{d x} [e^{x \cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $3 x - 5$ .

$5^{3 x - 5} \ln (5) \frac{d}{d x} [3 x - 5] + \frac{d}{d x} [e^{x \cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$5^{3 x - 5} \ln (5) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + \frac{d}{d x} [e^{x \cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Passaggio 2.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5^{3 x - 5} \ln (5) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + \frac{d}{d x} [e^{x \cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5^{3 x - 5} \ln (5) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + \frac{d}{d x} [e^{x \cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Passaggio 2.5

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$5^{3 x - 5} \ln (5) (3 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [e^{x \cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Passaggio 2.6

Moltiplica $3$ per $1$ .

$5^{3 x - 5} \ln (5) (3 + 0) + \frac{d}{d x} [e^{x \cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Passaggio 2.7

Somma $3$ e $0$ .

$5^{3 x - 5} \ln (5) \cdot 3 + \frac{d}{d x} [e^{x \cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Passaggio 2.8

Sposta $3$ alla sinistra di $5^{3 x - 5} \ln (5)$ .

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + \frac{d}{d x} [e^{x \cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{x \cos (x)}]$ .

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x \cos (x)$ .

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Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x \cos (x)$ .

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x \cos (x)$ .

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} \frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Passaggio 3.3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Passaggio 3.5

Moltiplica $\cos (x)$ per $1$ .

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Passaggio 4

Calcola $\frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$ .

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Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \log_{4} (x)$ e $g (x) = x^{4} + 7 x$ .

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Passaggio 4.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $x^{4} + 7 x$ .

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{d}{d u_{3}} [\log_{4} (u_{3})] \frac{d}{d x} [x^{4} + 7 x]$

Passaggio 4.1.2

La derivata di $\log_{4} (u_{3})$ rispetto a $u_{3}$ è $\frac{1}{u_{3} \ln (4)}$ .

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{1}{u_{3} \ln (4)} \frac{d}{d x} [x^{4} + 7 x]$

Passaggio 4.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $x^{4} + 7 x$ .

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{1}{(x^{4} + 7 x) \ln (4)} \frac{d}{d x} [x^{4} + 7 x]$

Passaggio 4.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} + 7 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [7 x]$ .

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{1}{(x^{4} + 7 x) \ln (4)} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [7 x])$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{1}{(x^{4} + 7 x) \ln (4)} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [7 x])$

Passaggio 4.4

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{1}{(x^{4} + 7 x) \ln (4)} (4 x^{3} + 7 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{1}{(x^{4} + 7 x) \ln (4)} (4 x^{3} + 7 \cdot 1)$

Passaggio 4.6

Moltiplica $7$ per $1$ .

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{1}{(x^{4} + 7 x) \ln (4)} (4 x^{3} + 7)$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x))) + e^{x \cos (x)} \cos (x) + \frac{1}{(x^{4} + 7 x) \ln (4)} (4 x^{3} + 7)$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x))) + e^{x \cos (x)} \cos (x) + \frac{1}{x^{4} \ln (4) + 7 x \ln (4)} (4 x^{3} + 7)$

Passaggio 5.3

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} x (- \sin (x)) + e^{x \cos (x)} \cos (x) + \frac{1}{x^{4} \ln (4) + 7 x \ln (4)} (4 x^{3} + 7)$

Passaggio 5.4

Riordina i termini.

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) - e^{x \cos (x)} x \sin (x) + e^{x \cos (x)} \cos (x) + (4 x^{3} + 7) \frac{1}{x^{4} \ln (4) + 7 x \ln (4)}$