Calcolo Esempi

$h (x) = \cos (\sin (5 x^{3})) - \tan^{3} (x^{2})$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\cos (\sin (5 x^{3})) - \tan^{3} (x^{2})$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\cos (\sin (5 x^{3}))] + \frac{d}{d x} [- \tan^{3} (x^{2})]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (\sin (5 x^{3}))] + \frac{d}{d x} [- \tan^{3} (x^{2})]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [\cos (\sin (5 x^{3}))]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \sin (5 x^{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\sin (5 x^{3})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin (5 x^{3})] + \frac{d}{d x} [- \tan^{3} (x^{2})]$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\cos (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [\sin (5 x^{3})] + \frac{d}{d x} [- \tan^{3} (x^{2})]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\sin (5 x^{3})$ .

$- \sin (\sin (5 x^{3})) \frac{d}{d x} [\sin (5 x^{3})] + \frac{d}{d x} [- \tan^{3} (x^{2})]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 5 x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $5 x^{3}$ .

$- \sin (\sin (5 x^{3})) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- \tan^{3} (x^{2})]$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\sin (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\cos (u_{2})$ .

$- \sin (\sin (5 x^{3})) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- \tan^{3} (x^{2})]$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $5 x^{3}$ .

$- \sin (\sin (5 x^{3})) (\cos (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- \tan^{3} (x^{2})]$

Passaggio 2.3

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{3}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \sin (\sin (5 x^{3})) (\cos (5 x^{3}) (5 \frac{d}{d x} [x^{3}])) + \frac{d}{d x} [- \tan^{3} (x^{2})]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- \sin (\sin (5 x^{3})) (\cos (5 x^{3}) (5 (3 x^{2}))) + \frac{d}{d x} [- \tan^{3} (x^{2})]$

Passaggio 2.5

Moltiplica $3$ per $5$ .

$- \sin (\sin (5 x^{3})) (\cos (5 x^{3}) (15 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \tan^{3} (x^{2})]$

Passaggio 2.6

Moltiplica $15$ per $- 1$ .

$- 15 \sin (\sin (5 x^{3})) \cos (5 x^{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [- \tan^{3} (x^{2})]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \tan^{3} (x^{2})]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \tan^{3} (x^{2})$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x^{2})]$ .

$- 15 \sin (\sin (5 x^{3})) \cos (5 x^{3}) x^{2} - \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x^{2})]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \tan (x^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $\tan (x^{2})$ .

$- 15 \sin (\sin (5 x^{3})) \cos (5 x^{3}) x^{2} - (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{3}] \frac{d}{d x} [\tan (x^{2})])$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ è $n {u_{3}}^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- 15 \sin (\sin (5 x^{3})) \cos (5 x^{3}) x^{2} - (3 {u_{3}}^{2} \frac{d}{d x} [\tan (x^{2})])$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $\tan (x^{2})$ .

$- 15 \sin (\sin (5 x^{3})) \cos (5 x^{3}) x^{2} - (3 \tan^{2} (x^{2}) \frac{d}{d x} [\tan (x^{2})])$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{4}$ come $x^{2}$ .

$- 15 \sin (\sin (5 x^{3})) \cos (5 x^{3}) x^{2} - (3 \tan^{2} (x^{2}) (\frac{d}{d u_{4}} [\tan (u_{4})] \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Passaggio 3.3.2

La derivata di $\tan (u_{4})$ rispetto a $u_{4}$ è $\sec^{2} (u_{4})$ .

$- 15 \sin (\sin (5 x^{3})) \cos (5 x^{3}) x^{2} - (3 \tan^{2} (x^{2}) (\sec^{2} (u_{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{4}$ con $x^{2}$ .

$- 15 \sin (\sin (5 x^{3})) \cos (5 x^{3}) x^{2} - (3 \tan^{2} (x^{2}) (\sec^{2} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 15 \sin (\sin (5 x^{3})) \cos (5 x^{3}) x^{2} - (3 \tan^{2} (x^{2}) (\sec^{2} (x^{2}) (2 x)))$

Passaggio 3.5

Moltiplica $2$ per $3$ .

$- 15 \sin (\sin (5 x^{3})) \cos (5 x^{3}) x^{2} - (6 \tan^{2} (x^{2}) (\sec^{2} (x^{2}) (x)))$

Passaggio 3.6

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$- 15 \sin (\sin (5 x^{3})) \cos (5 x^{3}) x^{2} - 6 \tan^{2} (x^{2}) \sec^{2} (x^{2}) x$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riordina i termini.

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - 6 x \sec^{2} (x^{2}) \tan^{2} (x^{2})$

Passaggio 4.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Riscrivi $\sec (x^{2})$ in termini di seno e coseno.

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - 6 x {(\frac{1}{\cos (x^{2})})}^{2} \tan^{2} (x^{2})$

Passaggio 4.2.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (x^{2})}$ .

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - 6 x \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x^{2})} \tan^{2} (x^{2})$

Passaggio 4.2.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - 6 x \frac{1}{\cos^{2} (x^{2})} \tan^{2} (x^{2})$

Passaggio 4.2.4

Moltiplica $- 6 x \frac{1}{\cos^{2} (x^{2})}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

$- 6$ e $\frac{1}{\cos^{2} (x^{2})}$ .

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) + x \frac{- 6}{\cos^{2} (x^{2})} \tan^{2} (x^{2})$

Passaggio 4.2.4.2

$x$ e $\frac{- 6}{\cos^{2} (x^{2})}$ .

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) + \frac{x \cdot - 6}{\cos^{2} (x^{2})} \tan^{2} (x^{2})$

Passaggio 4.2.5

Sposta $- 6$ alla sinistra di $x$ .

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) + \frac{- 6 \cdot x}{\cos^{2} (x^{2})} \tan^{2} (x^{2})$

Passaggio 4.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - \frac{6 \cdot x}{\cos^{2} (x^{2})} \tan^{2} (x^{2})$

Passaggio 4.2.7

Riscrivi $\tan (x^{2})$ in termini di seno e coseno.

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - \frac{6 x}{\cos^{2} (x^{2})} {(\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})})}^{2}$

Passaggio 4.2.8

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}$ .

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - \frac{6 x}{\cos^{2} (x^{2})} \cdot \frac{\sin^{2} (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})}$

Passaggio 4.2.9

Moltiplica $- \frac{6 x}{\cos^{2} (x^{2})} \cdot \frac{\sin^{2} (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.9.1

Moltiplica $\frac{\sin^{2} (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})}$ per $\frac{6 x}{\cos^{2} (x^{2})}$ .

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - \frac{\sin^{2} (x^{2}) (6 x)}{\cos^{2} (x^{2}) \cos^{2} (x^{2})}$

Passaggio 4.2.9.2

Moltiplica $\cos^{2} (x^{2})$ per $\cos^{2} (x^{2})$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.9.2.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - \frac{\sin^{2} (x^{2}) (6 x)}{{\cos (x^{2})}^{2 + 2}}$

Passaggio 4.2.9.2.2

Somma $2$ e $2$ .

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - \frac{\sin^{2} (x^{2}) (6 x)}{\cos^{4} (x^{2})}$

Passaggio 4.2.10

Sposta $6$ alla sinistra di $\sin^{2} (x^{2})$ .

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - \frac{6 \sin^{2} (x^{2}) x}{\cos^{4} (x^{2})}$

Passaggio 4.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Moltiplica per $1$ .

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - \frac{6 (\sin^{2} (x^{2}) \cdot 1) x}{\cos^{4} (x^{2})}$

Passaggio 4.3.2

Scomponi $\cos^{2} (x^{2})$ da $\cos^{4} (x^{2})$ .

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - \frac{6 (\sin^{2} (x^{2}) \cdot 1) x}{\cos^{2} (x^{2}) \cos^{2} (x^{2})}$

Passaggio 4.3.3

Frazioni separate.

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - (\frac{6 \cdot (1) x}{\cos^{2} (x^{2})} \cdot \frac{\sin^{2} (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})})$

Passaggio 4.3.4

Converti da $\frac{\sin^{2} (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})}$ a $\tan^{2} (x^{2})$ .

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - (\frac{6 \cdot (1) x}{\cos^{2} (x^{2})} \tan^{2} (x^{2}))$

Passaggio 4.3.5

Moltiplica $6$ per $1$ .

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - (\frac{6 x}{\cos^{2} (x^{2})} \tan^{2} (x^{2}))$

Passaggio 4.3.6

$\frac{6 x}{\cos^{2} (x^{2})}$ e $\tan^{2} (x^{2})$ .

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - \frac{6 x \tan^{2} (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})}$

Passaggio 4.3.7

Moltiplica per $1$ .

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - \frac{6 x \tan^{2} (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2}) \cdot 1}$

Passaggio 4.3.8

Frazioni separate.

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - (\frac{6 x}{1} \cdot \frac{\tan^{2} (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})})$

Passaggio 4.3.9

Converti da $\frac{1}{\cos^{2} (x^{2})}$ a $\sec^{2} (x^{2})$ .

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - (\frac{6 x}{1} (\tan^{2} (x^{2}) \sec^{2} (x^{2})))$

Passaggio 4.3.10

Dividi $6 x$ per $1$ .

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - (6 x (\tan^{2} (x^{2}) \sec^{2} (x^{2})))$

Passaggio 4.3.11

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - 6 x (\tan^{2} (x^{2}) \sec^{2} (x^{2}))$

$- 15 x^{2} \cos (5 x^{3}) \sin (\sin (5 x^{3})) - 6 x \tan^{2} (x^{2}) \sec^{2} (x^{2})$