Calcolo Esempi

$h (t) = \frac{t^{2}}{t^{2} + t - 2}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ è $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ dove $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = t^{2} + t - 2$ .

$\frac{(t^{2} + t - 2) \frac{d}{d t} [t^{2}] - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + t - 2]}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(t^{2} + t - 2) (2 t) - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + t - 2]}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $t^{2} + t - 2$ .

$\frac{2 \cdot (t^{2} + t - 2) t - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + t - 2]}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $t^{2} + t - 2$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2]$ .

$\frac{2 (t^{2} + t - 2) t - t^{2} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2])}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{2 (t^{2} + t - 2) t - t^{2} (2 t + \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2])}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2 (t^{2} + t - 2) t - t^{2} (2 t + 1 + \frac{d}{d t} [- 2])}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{2 (t^{2} + t - 2) t - t^{2} (2 t + 1 + 0)}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.7

Somma $2 t + 1$ e $0$ .

$\frac{2 (t^{2} + t - 2) t - t^{2} (2 t + 1)}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 t^{2} + 2 t + 2 \cdot - 2) t - t^{2} (2 t + 1)}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 t^{2} t + 2 t \cdot t + 2 \cdot - 2 t - t^{2} (2 t + 1)}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 t^{2} t + 2 t \cdot t + 2 \cdot - 2 t - t^{2} (2 t) - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.4.1.1

Moltiplica $t^{2}$ per $t$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.4.1.1.1

Sposta $t$ .

$\frac{2 (t \cdot t^{2}) + 2 t \cdot t + 2 \cdot - 2 t - t^{2} (2 t) - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.1.2

Moltiplica $t$ per $t^{2}$ .

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Passaggio 3.4.1.1.2.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (t^{1} t^{2}) + 2 t \cdot t + 2 \cdot - 2 t - t^{2} (2 t) - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 t^{1 + 2} + 2 t \cdot t + 2 \cdot - 2 t - t^{2} (2 t) - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{2 t^{3} + 2 t \cdot t + 2 \cdot - 2 t - t^{2} (2 t) - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.2

Moltiplica $t$ per $t$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.4.1.2.1

Sposta $t$ .

$\frac{2 t^{3} + 2 (t \cdot t) + 2 \cdot - 2 t - t^{2} (2 t) - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.2.2

Moltiplica $t$ per $t$ .

$\frac{2 t^{3} + 2 t^{2} + 2 \cdot - 2 t - t^{2} (2 t) - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{2 t^{3} + 2 t^{2} - 4 t - t^{2} (2 t) - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 t^{3} + 2 t^{2} - 4 t - 1 \cdot 2 t^{2} t - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.5

Moltiplica $t^{2}$ per $t$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.4.1.5.1

Sposta $t$ .

$\frac{2 t^{3} + 2 t^{2} - 4 t - 1 \cdot 2 (t \cdot t^{2}) - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.5.2

Moltiplica $t$ per $t^{2}$ .

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Passaggio 3.4.1.5.2.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 t^{3} + 2 t^{2} - 4 t - 1 \cdot 2 (t^{1} t^{2}) - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.5.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 t^{3} + 2 t^{2} - 4 t - 1 \cdot 2 t^{1 + 2} - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.5.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{2 t^{3} + 2 t^{2} - 4 t - 1 \cdot 2 t^{3} - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.6

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{2 t^{3} + 2 t^{2} - 4 t - 2 t^{3} - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 t^{3} + 2 t^{2} - 4 t - 2 t^{3} - t^{2}}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.4.2

Combina i termini opposti in $2 t^{3} + 2 t^{2} - 4 t - 2 t^{3} - t^{2}$ .

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Passaggio 3.4.2.1

Sottrai $2 t^{3}$ da $2 t^{3}$ .

$\frac{2 t^{2} - 4 t + 0 - t^{2}}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.4.2.2

Somma $2 t^{2} - 4 t$ e $0$ .

$\frac{2 t^{2} - 4 t - t^{2}}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.4.3

Sottrai $t^{2}$ da $2 t^{2}$ .

$\frac{t^{2} - 4 t}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Scomponi $t$ da $t^{2} - 4 t$ .

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Passaggio 3.5.1

Scomponi $t$ da $t^{2}$ .

$\frac{t \cdot t - 4 t}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.5.2

Scomponi $t$ da $- 4 t$ .

$\frac{t \cdot t + t \cdot - 4}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.5.3

Scomponi $t$ da $t \cdot t + t \cdot - 4$ .

$\frac{t (t - 4)}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.6

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.6.1

Scomponi $t^{2} + t - 2$ usando il metodo AC.

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Passaggio 3.6.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 2$ e la cui somma è $1$ .

$- 1, 2$

Passaggio 3.6.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$\frac{t (t - 4)}{{((t - 1) (t + 2))}^{2}}$

Passaggio 3.6.2

Applica la regola del prodotto a $(t - 1) (t + 2)$ .

$\frac{t (t - 4)}{{(t - 1)}^{2} {(t + 2)}^{2}}$