Calcolo Esempi

$h (t) = {(6 t^{2} - 5 t)}^{- 3}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{- 3}$ e $g (t) = 6 t^{2} - 5 t$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $6 t^{2} - 5 t$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d t} [6 t^{2} - 5 t]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 3$ .

$- 3 u^{- 4} \frac{d}{d t} [6 t^{2} - 5 t]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $6 t^{2} - 5 t$ .

$- 3 {(6 t^{2} - 5 t)}^{- 4} \frac{d}{d t} [6 t^{2} - 5 t]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 t^{2} - 5 t$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [6 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5 t]$ .

$- 3 {(6 t^{2} - 5 t)}^{- 4} (\frac{d}{d t} [6 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5 t])$

Passaggio 2.2

Poiché $6$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $6 t^{2}$ rispetto a $t$ è $6 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$- 3 {(6 t^{2} - 5 t)}^{- 4} (6 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5 t])$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 3 {(6 t^{2} - 5 t)}^{- 4} (6 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 5 t])$

Passaggio 2.4

Moltiplica $2$ per $6$ .

$- 3 {(6 t^{2} - 5 t)}^{- 4} (12 t + \frac{d}{d t} [- 5 t])$

Passaggio 2.5

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 5 t$ rispetto a $t$ è $- 5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 3 {(6 t^{2} - 5 t)}^{- 4} (12 t - 5 \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 3 {(6 t^{2} - 5 t)}^{- 4} (12 t - 5 \cdot 1)$

Passaggio 2.7

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$- 3 {(6 t^{2} - 5 t)}^{- 4} (12 t - 5)$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{{(6 t^{2} - 5 t)}^{4}} (12 t - 5)$

Passaggio 3.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.2.1

$- 3$ e $\frac{1}{{(6 t^{2} - 5 t)}^{4}}$ .

$\frac{- 3}{{(6 t^{2} - 5 t)}^{4}} (12 t - 5)$

Passaggio 3.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3}{{(6 t^{2} - 5 t)}^{4}} (12 t - 5)$

Passaggio 3.3

Riordina i fattori di $- \frac{3}{{(6 t^{2} - 5 t)}^{4}} (12 t - 5)$ .

$- (12 t - 5) \frac{3}{{(6 t^{2} - 5 t)}^{4}}$

Passaggio 3.4

Applica la proprietà distributiva.

$(- (12 t) - - 5) \frac{3}{{(6 t^{2} - 5 t)}^{4}}$

Passaggio 3.5

Moltiplica $12$ per $- 1$ .

$(- 12 t - - 5) \frac{3}{{(6 t^{2} - 5 t)}^{4}}$

Passaggio 3.6

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$(- 12 t + 5) \frac{3}{{(6 t^{2} - 5 t)}^{4}}$

Passaggio 3.7

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.7.1

Scomponi $t$ da $6 t^{2} - 5 t$ .

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Passaggio 3.7.1.1

Scomponi $t$ da $6 t^{2}$ .

$(- 12 t + 5) \frac{3}{{(t (6 t) - 5 t)}^{4}}$

Passaggio 3.7.1.2

Scomponi $t$ da $- 5 t$ .

$(- 12 t + 5) \frac{3}{{(t (6 t) + t \cdot - 5)}^{4}}$

Passaggio 3.7.1.3

Scomponi $t$ da $t (6 t) + t \cdot - 5$ .

$(- 12 t + 5) \frac{3}{{(t (6 t - 5))}^{4}}$

Passaggio 3.7.2

Applica la regola del prodotto a $t (6 t - 5)$ .

$(- 12 t + 5) \frac{3}{t^{4} {(6 t - 5)}^{4}}$

Passaggio 3.8

Moltiplica $- 12 t + 5$ per $\frac{3}{t^{4} {(6 t - 5)}^{4}}$ .

$\frac{(- 12 t + 5) \cdot 3}{t^{4} {(6 t - 5)}^{4}}$

Passaggio 3.9

Sposta $3$ alla sinistra di $- 12 t + 5$ .

$\frac{3 \cdot (- 12 t + 5)}{t^{4} {(6 t - 5)}^{4}}$

Passaggio 3.10

Scomponi $- 1$ da $- 12 t$ .

$\frac{3 (- (12 t) + 5)}{t^{4} {(6 t - 5)}^{4}}$

Passaggio 3.11

Riscrivi $5$ come $- 1 (- 5)$ .

$\frac{3 (- (12 t) - 1 (- 5))}{t^{4} {(6 t - 5)}^{4}}$

Passaggio 3.12

Scomponi $- 1$ da $- (12 t) - 1 (- 5)$ .

$\frac{3 (- (12 t - 5))}{t^{4} {(6 t - 5)}^{4}}$

Passaggio 3.13

Riscrivi $- (12 t - 5)$ come $- 1 (12 t - 5)$ .

$\frac{3 (- 1 (12 t - 5))}{t^{4} {(6 t - 5)}^{4}}$

Passaggio 3.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3 (12 t - 5)}{t^{4} {(6 t - 5)}^{4}}$