Calcolo Esempi

$h (t) = \sqrt[4]{t} (\sqrt{t} + t)$

Passaggio 1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[4]{t}$ come $t^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}} (\sqrt{t} + t)]$

Passaggio 1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{t}$ come $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}} (t^{\frac{1}{2}} + t)]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ è $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ dove $f (t) = t^{\frac{1}{4}}$ e $g (t) = t^{\frac{1}{2}} + t$ .

$t^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}} + t] + (t^{\frac{1}{2}} + t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}}]$

Passaggio 3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $t^{\frac{1}{2}} + t$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [t]) + (t^{\frac{1}{2}} + t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d t} [t]) + (t^{\frac{1}{2}} + t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}}]$

Passaggio 4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d t} [t]) + (t^{\frac{1}{2}} + t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}}]$

Passaggio 5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d t} [t]) + (t^{\frac{1}{2}} + t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}}]$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d t} [t]) + (t^{\frac{1}{2}} + t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}}]$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d t} [t]) + (t^{\frac{1}{2}} + t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}}]$

Passaggio 7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d t} [t]) + (t^{\frac{1}{2}} + t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}}]$

Passaggio 8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d t} [t]) + (t^{\frac{1}{2}} + t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}}]$

Passaggio 8.2

$\frac{1}{2}$ e $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [t]) + (t^{\frac{1}{2}} + t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}}]$

Passaggio 8.3

Sposta $t^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [t]) + (t^{\frac{1}{2}} + t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}}]$

Passaggio 9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 1) + (t^{\frac{1}{2}} + t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}}]$

Passaggio 10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{4}$ .

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 1) + (t^{\frac{1}{2}} + t) (\frac{1}{4} t^{\frac{1}{4} - 1})$

Passaggio 11

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 1) + (t^{\frac{1}{2}} + t) (\frac{1}{4} t^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Passaggio 12

$- 1$ e $\frac{4}{4}$ .

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 1) + (t^{\frac{1}{2}} + t) (\frac{1}{4} t^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Passaggio 13

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 1) + (t^{\frac{1}{2}} + t) (\frac{1}{4} t^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}})$

Passaggio 14

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 1) + (t^{\frac{1}{2}} + t) (\frac{1}{4} t^{\frac{1 - 4}{4}})$

Passaggio 14.2

Sottrai $4$ da $1$ .

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 1) + (t^{\frac{1}{2}} + t) (\frac{1}{4} t^{\frac{- 3}{4}})$

Passaggio 15

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 1) + (t^{\frac{1}{2}} + t) (\frac{1}{4} t^{- \frac{3}{4}})$

Passaggio 16

$\frac{1}{4}$ e $t^{- \frac{3}{4}}$ .

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 1) + (t^{\frac{1}{2}} + t) \frac{t^{- \frac{3}{4}}}{4}$

Passaggio 17

Sposta $t^{- \frac{3}{4}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 1) + (t^{\frac{1}{2}} + t) \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Passaggio 18

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1

Applica la proprietà distributiva.

$t^{\frac{1}{4}} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{4}} \cdot 1 + (t^{\frac{1}{2}} + t) \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Passaggio 18.2

Applica la proprietà distributiva.

$t^{\frac{1}{4}} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{4}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Passaggio 18.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.3.1

$t^{\frac{1}{4}}$ e $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{4}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{4}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Passaggio 18.3.2

Sposta $t^{\frac{1}{4}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Passaggio 18.3.3

Moltiplica $t^{\frac{1}{2}}$ per $t^{- \frac{1}{4}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.3.3.1

Sposta $t^{- \frac{1}{4}}$ .

$\frac{1}{2 (t^{- \frac{1}{4}} t^{\frac{1}{2}})} + t^{\frac{1}{4}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Passaggio 18.3.3.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2 t^{- \frac{1}{4} + \frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{4}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Passaggio 18.3.3.3

Per scrivere $\frac{1}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 t^{- \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}}} + t^{\frac{1}{4}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Passaggio 18.3.3.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $4$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.3.3.4.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 t^{- \frac{1}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}}} + t^{\frac{1}{4}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Passaggio 18.3.3.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{2 t^{- \frac{1}{4} + \frac{2}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Passaggio 18.3.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2 t^{\frac{- 1 + 2}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Passaggio 18.3.3.6

Somma $- 1$ e $2$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Passaggio 18.3.4

Moltiplica $t^{\frac{1}{4}}$ per $1$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} + t^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Passaggio 18.3.5

$t^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} + \frac{t^{\frac{1}{2}}}{4 t^{\frac{3}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Passaggio 18.3.6

Sposta $t^{\frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}} t^{- \frac{1}{2}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Passaggio 18.3.7

Moltiplica $t^{\frac{3}{4}}$ per $t^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.3.7.1

Sposta $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{4 (t^{- \frac{1}{2}} t^{\frac{3}{4}})} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Passaggio 18.3.7.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{4 t^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Passaggio 18.3.7.3

Per scrivere $- \frac{1}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{4 t^{- \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Passaggio 18.3.7.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $4$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.3.7.4.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{4 t^{- \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Passaggio 18.3.7.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{4 t^{- \frac{2}{4} + \frac{3}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Passaggio 18.3.7.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{4 t^{\frac{- 2 + 3}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Passaggio 18.3.7.6

Somma $- 2$ e $3$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{4 t^{\frac{1}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Passaggio 18.3.8

$t$ e $\frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{4 t^{\frac{1}{4}}} + \frac{t}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Passaggio 18.3.9

Sposta $t^{\frac{3}{4}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{4 t^{\frac{1}{4}}} + \frac{t \cdot t^{- \frac{3}{4}}}{4}$

Passaggio 18.3.10

Moltiplica $t$ per $t^{- \frac{3}{4}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.3.10.1

Moltiplica $t$ per $t^{- \frac{3}{4}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.3.10.1.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{4 t^{\frac{1}{4}}} + \frac{t^{1} t^{- \frac{3}{4}}}{4}$

Passaggio 18.3.10.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{4 t^{\frac{1}{4}}} + \frac{t^{1 - \frac{3}{4}}}{4}$

Passaggio 18.3.10.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{4 t^{\frac{1}{4}}} + \frac{t^{\frac{4}{4} - \frac{3}{4}}}{4}$

Passaggio 18.3.10.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{4 t^{\frac{1}{4}}} + \frac{t^{\frac{4 - 3}{4}}}{4}$

Passaggio 18.3.10.4

Sottrai $3$ da $4$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{4 t^{\frac{1}{4}}} + \frac{t^{\frac{1}{4}}}{4}$

Passaggio 18.3.11

Per scrivere $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$t^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{4 t^{\frac{1}{4}}} + \frac{t^{\frac{1}{4}}}{4}$

Passaggio 18.3.12

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $4 t^{\frac{1}{4}}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.3.12.1

Moltiplica $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}}$ per $\frac{2}{2}$ .

$t^{\frac{1}{4}} + \frac{2}{2 t^{\frac{1}{4}} \cdot 2} + \frac{1}{4 t^{\frac{1}{4}}} + \frac{t^{\frac{1}{4}}}{4}$

Passaggio 18.3.12.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$t^{\frac{1}{4}} + \frac{2}{4 t^{\frac{1}{4}}} + \frac{1}{4 t^{\frac{1}{4}}} + \frac{t^{\frac{1}{4}}}{4}$

Passaggio 18.3.13

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$t^{\frac{1}{4}} + \frac{2 + 1}{4 t^{\frac{1}{4}}} + \frac{t^{\frac{1}{4}}}{4}$

Passaggio 18.3.14

Somma $2$ e $1$ .

$t^{\frac{1}{4}} + \frac{3}{4 t^{\frac{1}{4}}} + \frac{t^{\frac{1}{4}}}{4}$

Passaggio 18.3.15

Per scrivere $t^{\frac{1}{4}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$t^{\frac{1}{4}} \cdot \frac{4}{4} + \frac{t^{\frac{1}{4}}}{4} + \frac{3}{4 t^{\frac{1}{4}}}$

Passaggio 18.3.16

$t^{\frac{1}{4}}$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{4}} \cdot 4}{4} + \frac{t^{\frac{1}{4}}}{4} + \frac{3}{4 t^{\frac{1}{4}}}$

Passaggio 18.3.17

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{t^{\frac{1}{4}} \cdot 4 + t^{\frac{1}{4}}}{4} + \frac{3}{4 t^{\frac{1}{4}}}$

Passaggio 18.3.18

Sposta $4$ alla sinistra di $t^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{4 \cdot t^{\frac{1}{4}} + t^{\frac{1}{4}}}{4} + \frac{3}{4 t^{\frac{1}{4}}}$

Passaggio 18.3.19

Somma $4 t^{\frac{1}{4}}$ e $t^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{5 t^{\frac{1}{4}}}{4} + \frac{3}{4 t^{\frac{1}{4}}}$