Calcolo Esempi

$h (x) = {(x^{2} + 5)}^{2} (x - 5)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = {(x^{2} + 5)}^{2}$ e $g (x) = x - 5$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5] + (x - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{2}]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{2}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{2}]$

Passaggio 2.3

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} (1 + 0) + (x - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{2}]$

Passaggio 2.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.4.1

Somma $1$ e $0$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} \cdot 1 + (x - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{2}]$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica ${(x^{2} + 5)}^{2}$ per $1$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} + (x - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{2}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 5$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 5$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} + (x - 5) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} + (x - 5) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 5$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} + (x - 5) (2 (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Sposta $2$ alla sinistra di $x - 5$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} + 2 \cdot (x - 5) (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Passaggio 4.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} + 2 (x - 5) (x^{2} + 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} + 2 (x - 5) (x^{2} + 5) (2 x + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 4.4

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} + 2 (x - 5) (x^{2} + 5) (2 x + 0)$

Passaggio 4.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.5.1

Somma $2 x$ e $0$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} + 2 (x - 5) (x^{2} + 5) (2 x)$

Passaggio 4.5.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} + 4 (x - 5) (x^{2} + 5) x$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

${(x^{2} + 5)}^{2} + (4 x + 4 \cdot - 5) (x^{2} + 5) x$

Passaggio 5.2

Moltiplica $4$ per $- 5$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} + (4 x - 20) (x^{2} + 5) x$

Passaggio 5.3

Scomponi $x^{2} + 5$ da ${(x^{2} + 5)}^{2} + (4 x - 20) (x^{2} + 5) x$ .

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Passaggio 5.3.1

Scomponi $x^{2} + 5$ da ${(x^{2} + 5)}^{2}$ .

$(x^{2} + 5) (x^{2} + 5) + (4 x - 20) (x^{2} + 5) x$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $x^{2} + 5$ da $(4 x - 20) (x^{2} + 5) x$ .

$(x^{2} + 5) (x^{2} + 5) + (x^{2} + 5) ((4 x - 20) x)$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $x^{2} + 5$ da $(x^{2} + 5) (x^{2} + 5) + (x^{2} + 5) ((4 x - 20) x)$ .

$(x^{2} + 5) (x^{2} + 5 + (4 x - 20) x)$

Passaggio 5.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$(x^{2} + 5) (x^{2} + 5 + 4 x \cdot x - 20 x)$

Passaggio 5.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.4.2.1

Sposta $x$ .

$(x^{2} + 5) (x^{2} + 5 + 4 (x \cdot x) - 20 x)$

Passaggio 5.4.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$(x^{2} + 5) (x^{2} + 5 + 4 x^{2} - 20 x)$

Passaggio 5.5

Somma $x^{2}$ e $4 x^{2}$ .

$(x^{2} + 5) (5 x^{2} + 5 - 20 x)$

Passaggio 5.6

Espandi $(x^{2} + 5) (5 x^{2} + 5 - 20 x)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$x^{2} (5 x^{2}) + x^{2} \cdot 5 + x^{2} (- 20 x) + 5 (5 x^{2}) + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

Passaggio 5.7

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.7.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$5 x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 5 + x^{2} (- 20 x) + 5 (5 x^{2}) + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

Passaggio 5.7.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.7.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$5 (x^{2} x^{2}) + x^{2} \cdot 5 + x^{2} (- 20 x) + 5 (5 x^{2}) + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

Passaggio 5.7.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$5 x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 5 + x^{2} (- 20 x) + 5 (5 x^{2}) + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

Passaggio 5.7.2.3

Somma $2$ e $2$ .

$5 x^{4} + x^{2} \cdot 5 + x^{2} (- 20 x) + 5 (5 x^{2}) + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

Passaggio 5.7.3

Sposta $5$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$5 x^{4} + 5 \cdot x^{2} + x^{2} (- 20 x) + 5 (5 x^{2}) + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

Passaggio 5.7.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$5 x^{4} + 5 x^{2} - 20 x^{2} x + 5 (5 x^{2}) + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

Passaggio 5.7.5

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.7.5.1

Sposta $x$ .

$5 x^{4} + 5 x^{2} - 20 (x \cdot x^{2}) + 5 (5 x^{2}) + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

Passaggio 5.7.5.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 5.7.5.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$5 x^{4} + 5 x^{2} - 20 (x^{1} x^{2}) + 5 (5 x^{2}) + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

Passaggio 5.7.5.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$5 x^{4} + 5 x^{2} - 20 x^{1 + 2} + 5 (5 x^{2}) + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

Passaggio 5.7.5.3

Somma $1$ e $2$ .

$5 x^{4} + 5 x^{2} - 20 x^{3} + 5 (5 x^{2}) + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

Passaggio 5.7.6

Moltiplica $5$ per $5$ .

$5 x^{4} + 5 x^{2} - 20 x^{3} + 25 x^{2} + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

Passaggio 5.7.7

Moltiplica $5$ per $5$ .

$5 x^{4} + 5 x^{2} - 20 x^{3} + 25 x^{2} + 25 + 5 (- 20 x)$

Passaggio 5.7.8

Moltiplica $- 20$ per $5$ .

$5 x^{4} + 5 x^{2} - 20 x^{3} + 25 x^{2} + 25 - 100 x$

Passaggio 5.8

Somma $5 x^{2}$ e $25 x^{2}$ .

$5 x^{4} - 20 x^{3} + 30 x^{2} + 25 - 100 x$