Calcolo Esempi

$h (x) = \frac{5 x + 1}{(x + 3) (x - 5)}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 5 x + 1$ e $g (x) = (x + 3) (x - 5)$ .

$\frac{(x + 3) (x - 5) \frac{d}{d x} [5 x + 1] - (5 x + 1) \frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 5)]}{{((x + 3) (x - 5))}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x + 3) (x - 5) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (5 x + 1) \frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 5)]}{{((x + 3) (x - 5))}^{2}}$

Passaggio 2.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x + 3) (x - 5) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (5 x + 1) \frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 5)]}{{((x + 3) (x - 5))}^{2}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x + 3) (x - 5) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (5 x + 1) \frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 5)]}{{((x + 3) (x - 5))}^{2}}$

Passaggio 2.4

Moltiplica $5$ per $1$ .

$\frac{(x + 3) (x - 5) (5 + \frac{d}{d x} [1]) - (5 x + 1) \frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 5)]}{{((x + 3) (x - 5))}^{2}}$

Passaggio 2.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x + 3) (x - 5) (5 + 0) - (5 x + 1) \frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 5)]}{{((x + 3) (x - 5))}^{2}}$

Passaggio 2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Somma $5$ e $0$ .

$\frac{(x + 3) (x - 5) \cdot 5 - (5 x + 1) \frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 5)]}{{((x + 3) (x - 5))}^{2}}$

Passaggio 2.6.2

Sposta $5$ alla sinistra di $(x + 3) (x - 5)$ .

$\frac{5 \cdot ((x + 3) (x - 5)) - (5 x + 1) \frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 5)]}{{((x + 3) (x - 5))}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x + 3$ e $g (x) = x - 5$ .

$\frac{5 (x + 3) (x - 5) - (5 x + 1) ((x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5] + (x - 5) \frac{d}{d x} [x + 3])}{{((x + 3) (x - 5))}^{2}}$

Passaggio 4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{5 (x + 3) (x - 5) - (5 x + 1) ((x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x - 5) \frac{d}{d x} [x + 3])}{{((x + 3) (x - 5))}^{2}}$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{5 (x + 3) (x - 5) - (5 x + 1) ((x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x - 5) \frac{d}{d x} [x + 3])}{{((x + 3) (x - 5))}^{2}}$

Passaggio 4.3

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{5 (x + 3) (x - 5) - (5 x + 1) ((x + 3) (1 + 0) + (x - 5) \frac{d}{d x} [x + 3])}{{((x + 3) (x - 5))}^{2}}$

Passaggio 4.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{5 (x + 3) (x - 5) - (5 x + 1) ((x + 3) \cdot 1 + (x - 5) \frac{d}{d x} [x + 3])}{{((x + 3) (x - 5))}^{2}}$

Passaggio 4.4.2

Moltiplica $x + 3$ per $1$ .

$\frac{5 (x + 3) (x - 5) - (5 x + 1) (x + 3 + (x - 5) \frac{d}{d x} [x + 3])}{{((x + 3) (x - 5))}^{2}}$

Passaggio 4.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{5 (x + 3) (x - 5) - (5 x + 1) (x + 3 + (x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]))}{{((x + 3) (x - 5))}^{2}}$

Passaggio 4.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{5 (x + 3) (x - 5) - (5 x + 1) (x + 3 + (x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [3]))}{{((x + 3) (x - 5))}^{2}}$

Passaggio 4.7

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{5 (x + 3) (x - 5) - (5 x + 1) (x + 3 + (x - 5) (1 + 0))}{{((x + 3) (x - 5))}^{2}}$

Passaggio 4.8

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{5 (x + 3) (x - 5) - (5 x + 1) (x + 3 + (x - 5) \cdot 1)}{{((x + 3) (x - 5))}^{2}}$

Passaggio 4.8.2

Moltiplica $x - 5$ per $1$ .

$\frac{5 (x + 3) (x - 5) - (5 x + 1) (x + 3 + x - 5)}{{((x + 3) (x - 5))}^{2}}$

Passaggio 4.8.3

Somma $x$ e $x$ .

$\frac{5 (x + 3) (x - 5) - (5 x + 1) (2 x + 3 - 5)}{{((x + 3) (x - 5))}^{2}}$

Passaggio 4.8.4

Sottrai $5$ da $3$ .

$\frac{5 (x + 3) (x - 5) - (5 x + 1) (2 x - 2)}{{((x + 3) (x - 5))}^{2}}$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Applica la regola del prodotto a $(x + 3) (x - 5)$ .

$\frac{5 (x + 3) (x - 5) - (5 x + 1) (2 x - 2)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(5 x + 5 \cdot 3) (x - 5) - (5 x + 1) (2 x - 2)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(5 x + 5 \cdot 3) (x - 5) + (- (5 x) - 1 \cdot 1) (2 x - 2)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 5.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.1

Moltiplica $5$ per $3$ .

$\frac{(5 x + 15) (x - 5) + (- (5 x) - 1 \cdot 1) (2 x - 2)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 5.4.1.2

Espandi $(5 x + 15) (x - 5)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5 x (x - 5) + 15 (x - 5) + (- (5 x) - 1 \cdot 1) (2 x - 2)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 5.4.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5 x \cdot x + 5 x \cdot - 5 + 15 (x - 5) + (- (5 x) - 1 \cdot 1) (2 x - 2)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 5.4.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5 x \cdot x + 5 x \cdot - 5 + 15 x + 15 \cdot - 5 + (- (5 x) - 1 \cdot 1) (2 x - 2)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 5.4.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.3.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{5 (x \cdot x) + 5 x \cdot - 5 + 15 x + 15 \cdot - 5 + (- (5 x) - 1 \cdot 1) (2 x - 2)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 5.4.1.3.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{5 x^{2} + 5 x \cdot - 5 + 15 x + 15 \cdot - 5 + (- (5 x) - 1 \cdot 1) (2 x - 2)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 5.4.1.3.1.2

Moltiplica $- 5$ per $5$ .

$\frac{5 x^{2} - 25 x + 15 x + 15 \cdot - 5 + (- (5 x) - 1 \cdot 1) (2 x - 2)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 5.4.1.3.1.3

Moltiplica $15$ per $- 5$ .

$\frac{5 x^{2} - 25 x + 15 x - 75 + (- (5 x) - 1 \cdot 1) (2 x - 2)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 5.4.1.3.2

Somma $- 25 x$ e $15 x$ .

$\frac{5 x^{2} - 10 x - 75 + (- (5 x) - 1 \cdot 1) (2 x - 2)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 5.4.1.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.4.1

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$\frac{5 x^{2} - 10 x - 75 + (- 5 x - 1 \cdot 1) (2 x - 2)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 5.4.1.4.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{5 x^{2} - 10 x - 75 + (- 5 x - 1) (2 x - 2)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 5.4.1.5

Espandi $(- 5 x - 1) (2 x - 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5 x^{2} - 10 x - 75 - 5 x (2 x - 2) - 1 (2 x - 2)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 5.4.1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5 x^{2} - 10 x - 75 - 5 x (2 x) - 5 x \cdot - 2 - 1 (2 x - 2)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 5.4.1.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5 x^{2} - 10 x - 75 - 5 x (2 x) - 5 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 5.4.1.6

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.6.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{5 x^{2} - 10 x - 75 - 5 \cdot 2 x \cdot x - 5 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 5.4.1.6.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.6.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{5 x^{2} - 10 x - 75 - 5 \cdot 2 (x \cdot x) - 5 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 5.4.1.6.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{5 x^{2} - 10 x - 75 - 5 \cdot 2 x^{2} - 5 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 5.4.1.6.1.3

Moltiplica $- 5$ per $2$ .

$\frac{5 x^{2} - 10 x - 75 - 10 x^{2} - 5 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 5.4.1.6.1.4

Moltiplica $- 2$ per $- 5$ .

$\frac{5 x^{2} - 10 x - 75 - 10 x^{2} + 10 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 5.4.1.6.1.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{5 x^{2} - 10 x - 75 - 10 x^{2} + 10 x - 2 x - 1 \cdot - 2}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 5.4.1.6.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\frac{5 x^{2} - 10 x - 75 - 10 x^{2} + 10 x - 2 x + 2}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 5.4.1.6.2

Sottrai $2 x$ da $10 x$ .

$\frac{5 x^{2} - 10 x - 75 - 10 x^{2} + 8 x + 2}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 5.4.2

Sottrai $10 x^{2}$ da $5 x^{2}$ .

$\frac{- 5 x^{2} - 10 x - 75 + 8 x + 2}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 5.4.3

Somma $- 10 x$ e $8 x$ .

$\frac{- 5 x^{2} - 2 x - 75 + 2}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 5.4.4

Somma $- 75$ e $2$ .

$\frac{- 5 x^{2} - 2 x - 73}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 5.5

Scomponi $- 1$ da $- 5 x^{2}$ .

$\frac{- (5 x^{2}) - 2 x - 73}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 5.6

Scomponi $- 1$ da $- 2 x$ .

$\frac{- (5 x^{2}) - (2 x) - 73}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 5.7

Scomponi $- 1$ da $- (5 x^{2}) - (2 x)$ .

$\frac{- (5 x^{2} + 2 x) - 73}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 5.8

Riscrivi $- 73$ come $- 1 (73)$ .

$\frac{- (5 x^{2} + 2 x) - 1 (73)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 5.9

Scomponi $- 1$ da $- (5 x^{2} + 2 x) - 1 (73)$ .

$\frac{- (5 x^{2} + 2 x + 73)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 5.10

Riscrivi $- (5 x^{2} + 2 x + 73)$ come $- 1 (5 x^{2} + 2 x + 73)$ .

$\frac{- 1 (5 x^{2} + 2 x + 73)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 5.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{5 x^{2} + 2 x + 73}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$