Calcolo Esempi

$m (t) = - 5 t {(6 t^{5} - 1)}^{3}$

Passaggio 1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 5 t {(6 t^{5} - 1)}^{3}$ rispetto a $t$ è $- 5 \frac{d}{d t} [t {(6 t^{5} - 1)}^{3}]$ .

$- 5 \frac{d}{d t} [t {(6 t^{5} - 1)}^{3}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ è $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ dove $f (t) = t$ e $g (t) = {(6 t^{5} - 1)}^{3}$ .

$- 5 (t \frac{d}{d t} [{(6 t^{5} - 1)}^{3}] + {(6 t^{5} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{3}$ e $g (t) = 6 t^{5} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $6 t^{5} - 1$ .

$- 5 (t (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [6 t^{5} - 1]) + {(6 t^{5} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- 5 (t (3 u^{2} \frac{d}{d t} [6 t^{5} - 1]) + {(6 t^{5} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $6 t^{5} - 1$ .

$- 5 (t (3 {(6 t^{5} - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [6 t^{5} - 1]) + {(6 t^{5} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 t^{5} - 1$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [6 t^{5}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$- 5 (t (3 {(6 t^{5} - 1)}^{2} (\frac{d}{d t} [6 t^{5}] + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(6 t^{5} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 4.2

Poiché $6$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $6 t^{5}$ rispetto a $t$ è $6 \frac{d}{d t} [t^{5}]$ .

$- 5 (t (3 {(6 t^{5} - 1)}^{2} (6 \frac{d}{d t} [t^{5}] + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(6 t^{5} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$- 5 (t (3 {(6 t^{5} - 1)}^{2} (6 (5 t^{4}) + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(6 t^{5} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 4.4

Moltiplica $5$ per $6$ .

$- 5 (t (3 {(6 t^{5} - 1)}^{2} (30 t^{4} + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(6 t^{5} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 4.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$- 5 (t (3 {(6 t^{5} - 1)}^{2} (30 t^{4} + 0)) + {(6 t^{5} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 4.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.6.1

Somma $30 t^{4}$ e $0$ .

$- 5 (t (3 {(6 t^{5} - 1)}^{2} (30 t^{4})) + {(6 t^{5} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 4.6.2

Moltiplica $30$ per $3$ .

$- 5 (t (90 {(6 t^{5} - 1)}^{2} t^{4}) + {(6 t^{5} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 5

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$- 5 (t^{4} t^{1} (90 {(6 t^{5} - 1)}^{2}) + {(6 t^{5} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 5 (t^{4 + 1} (90 {(6 t^{5} - 1)}^{2}) + {(6 t^{5} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 7

Somma $4$ e $1$ .

$- 5 (t^{5} (90 {(6 t^{5} - 1)}^{2}) + {(6 t^{5} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 5 (t^{5} (90 {(6 t^{5} - 1)}^{2}) + {(6 t^{5} - 1)}^{3} \cdot 1)$

Passaggio 9

Moltiplica ${(6 t^{5} - 1)}^{3}$ per $1$ .

$- 5 (t^{5} (90 {(6 t^{5} - 1)}^{2}) + {(6 t^{5} - 1)}^{3})$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 5 (t^{5} (90 {(6 t^{5} - 1)}^{2})) - 5 {(6 t^{5} - 1)}^{3}$

Passaggio 10.2

Moltiplica $90$ per $- 5$ .

$- 450 (t^{5} ({(6 t^{5} - 1)}^{2})) - 5 {(6 t^{5} - 1)}^{3}$

Passaggio 10.3

Scomponi $5 {(6 t^{5} - 1)}^{2}$ da $- 450 t^{5} {(6 t^{5} - 1)}^{2} - 5 {(6 t^{5} - 1)}^{3}$ .

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Passaggio 10.3.1

Scomponi $5 {(6 t^{5} - 1)}^{2}$ da $- 450 t^{5} {(6 t^{5} - 1)}^{2}$ .

$5 {(6 t^{5} - 1)}^{2} (- 90 t^{5}) - 5 {(6 t^{5} - 1)}^{3}$

Passaggio 10.3.2

Scomponi $5 {(6 t^{5} - 1)}^{2}$ da $- 5 {(6 t^{5} - 1)}^{3}$ .

$5 {(6 t^{5} - 1)}^{2} (- 90 t^{5}) + 5 {(6 t^{5} - 1)}^{2} (- (6 t^{5} - 1))$

Passaggio 10.3.3

Scomponi $5 {(6 t^{5} - 1)}^{2}$ da $5 {(6 t^{5} - 1)}^{2} (- 90 t^{5}) + 5 {(6 t^{5} - 1)}^{2} (- (6 t^{5} - 1))$ .

$5 {(6 t^{5} - 1)}^{2} (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

Passaggio 10.4

Riscrivi ${(6 t^{5} - 1)}^{2}$ come $(6 t^{5} - 1) (6 t^{5} - 1)$ .

$5 ((6 t^{5} - 1) (6 t^{5} - 1)) (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

Passaggio 10.5

Espandi $(6 t^{5} - 1) (6 t^{5} - 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 10.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$5 (6 t^{5} (6 t^{5} - 1) - 1 (6 t^{5} - 1)) (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

Passaggio 10.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$5 (6 t^{5} (6 t^{5}) + 6 t^{5} \cdot - 1 - 1 (6 t^{5} - 1)) (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

Passaggio 10.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$5 (6 t^{5} (6 t^{5}) + 6 t^{5} \cdot - 1 - 1 (6 t^{5}) - 1 \cdot - 1) (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

Passaggio 10.6

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 10.6.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 10.6.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$5 (6 \cdot 6 t^{5} t^{5} + 6 t^{5} \cdot - 1 - 1 (6 t^{5}) - 1 \cdot - 1) (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

Passaggio 10.6.1.2

Moltiplica $t^{5}$ per $t^{5}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 10.6.1.2.1

Sposta $t^{5}$ .

$5 (6 \cdot 6 (t^{5} t^{5}) + 6 t^{5} \cdot - 1 - 1 (6 t^{5}) - 1 \cdot - 1) (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

Passaggio 10.6.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$5 (6 \cdot 6 t^{5 + 5} + 6 t^{5} \cdot - 1 - 1 (6 t^{5}) - 1 \cdot - 1) (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

Passaggio 10.6.1.2.3

Somma $5$ e $5$ .

$5 (6 \cdot 6 t^{10} + 6 t^{5} \cdot - 1 - 1 (6 t^{5}) - 1 \cdot - 1) (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

Passaggio 10.6.1.3

Moltiplica $6$ per $6$ .

$5 (36 t^{10} + 6 t^{5} \cdot - 1 - 1 (6 t^{5}) - 1 \cdot - 1) (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

Passaggio 10.6.1.4

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$5 (36 t^{10} - 6 t^{5} - 1 (6 t^{5}) - 1 \cdot - 1) (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

Passaggio 10.6.1.5

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$5 (36 t^{10} - 6 t^{5} - 6 t^{5} - 1 \cdot - 1) (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

Passaggio 10.6.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$5 (36 t^{10} - 6 t^{5} - 6 t^{5} + 1) (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

Passaggio 10.6.2

Sottrai $6 t^{5}$ da $- 6 t^{5}$ .

$5 (36 t^{10} - 12 t^{5} + 1) (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

Passaggio 10.7

Applica la proprietà distributiva.

$(5 (36 t^{10}) + 5 (- 12 t^{5}) + 5 \cdot 1) (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

Passaggio 10.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.8.1

Moltiplica $36$ per $5$ .

$(180 t^{10} + 5 (- 12 t^{5}) + 5 \cdot 1) (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

Passaggio 10.8.2

Moltiplica $- 12$ per $5$ .

$(180 t^{10} - 60 t^{5} + 5 \cdot 1) (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

Passaggio 10.8.3

Moltiplica $5$ per $1$ .

$(180 t^{10} - 60 t^{5} + 5) (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

Passaggio 10.9

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.9.1

Applica la proprietà distributiva.

$(180 t^{10} - 60 t^{5} + 5) (- 90 t^{5} - (6 t^{5}) - - 1)$

Passaggio 10.9.2

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$(180 t^{10} - 60 t^{5} + 5) (- 90 t^{5} - 6 t^{5} - - 1)$

Passaggio 10.9.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$(180 t^{10} - 60 t^{5} + 5) (- 90 t^{5} - 6 t^{5} + 1)$

Passaggio 10.10

Sottrai $6 t^{5}$ da $- 90 t^{5}$ .

$(180 t^{10} - 60 t^{5} + 5) (- 96 t^{5} + 1)$

Passaggio 10.11

Espandi $(180 t^{10} - 60 t^{5} + 5) (- 96 t^{5} + 1)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$180 t^{10} (- 96 t^{5}) + 180 t^{10} \cdot 1 - 60 t^{5} (- 96 t^{5}) - 60 t^{5} \cdot 1 + 5 (- 96 t^{5}) + 5 \cdot 1$

Passaggio 10.12

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 10.12.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$180 \cdot - 96 t^{10} t^{5} + 180 t^{10} \cdot 1 - 60 t^{5} (- 96 t^{5}) - 60 t^{5} \cdot 1 + 5 (- 96 t^{5}) + 5 \cdot 1$

Passaggio 10.12.2

Moltiplica $t^{10}$ per $t^{5}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 10.12.2.1

Sposta $t^{5}$ .

$180 \cdot - 96 (t^{5} t^{10}) + 180 t^{10} \cdot 1 - 60 t^{5} (- 96 t^{5}) - 60 t^{5} \cdot 1 + 5 (- 96 t^{5}) + 5 \cdot 1$

Passaggio 10.12.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$180 \cdot - 96 t^{5 + 10} + 180 t^{10} \cdot 1 - 60 t^{5} (- 96 t^{5}) - 60 t^{5} \cdot 1 + 5 (- 96 t^{5}) + 5 \cdot 1$

Passaggio 10.12.2.3

Somma $5$ e $10$ .

$180 \cdot - 96 t^{15} + 180 t^{10} \cdot 1 - 60 t^{5} (- 96 t^{5}) - 60 t^{5} \cdot 1 + 5 (- 96 t^{5}) + 5 \cdot 1$

Passaggio 10.12.3

Moltiplica $180$ per $- 96$ .

$- 17280 t^{15} + 180 t^{10} \cdot 1 - 60 t^{5} (- 96 t^{5}) - 60 t^{5} \cdot 1 + 5 (- 96 t^{5}) + 5 \cdot 1$

Passaggio 10.12.4

Moltiplica $180$ per $1$ .

$- 17280 t^{15} + 180 t^{10} - 60 t^{5} (- 96 t^{5}) - 60 t^{5} \cdot 1 + 5 (- 96 t^{5}) + 5 \cdot 1$

Passaggio 10.12.5

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 17280 t^{15} + 180 t^{10} - 60 \cdot - 96 t^{5} t^{5} - 60 t^{5} \cdot 1 + 5 (- 96 t^{5}) + 5 \cdot 1$

Passaggio 10.12.6

Moltiplica $t^{5}$ per $t^{5}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.12.6.1

Sposta $t^{5}$ .

$- 17280 t^{15} + 180 t^{10} - 60 \cdot - 96 (t^{5} t^{5}) - 60 t^{5} \cdot 1 + 5 (- 96 t^{5}) + 5 \cdot 1$

Passaggio 10.12.6.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 17280 t^{15} + 180 t^{10} - 60 \cdot - 96 t^{5 + 5} - 60 t^{5} \cdot 1 + 5 (- 96 t^{5}) + 5 \cdot 1$

Passaggio 10.12.6.3

Somma $5$ e $5$ .

$- 17280 t^{15} + 180 t^{10} - 60 \cdot - 96 t^{10} - 60 t^{5} \cdot 1 + 5 (- 96 t^{5}) + 5 \cdot 1$

Passaggio 10.12.7

Moltiplica $- 60$ per $- 96$ .

$- 17280 t^{15} + 180 t^{10} + 5760 t^{10} - 60 t^{5} \cdot 1 + 5 (- 96 t^{5}) + 5 \cdot 1$

Passaggio 10.12.8

Moltiplica $- 60$ per $1$ .

$- 17280 t^{15} + 180 t^{10} + 5760 t^{10} - 60 t^{5} + 5 (- 96 t^{5}) + 5 \cdot 1$

Passaggio 10.12.9

Moltiplica $- 96$ per $5$ .

$- 17280 t^{15} + 180 t^{10} + 5760 t^{10} - 60 t^{5} - 480 t^{5} + 5 \cdot 1$

Passaggio 10.12.10

Moltiplica $5$ per $1$ .

$- 17280 t^{15} + 180 t^{10} + 5760 t^{10} - 60 t^{5} - 480 t^{5} + 5$

Passaggio 10.13

Somma $180 t^{10}$ e $5760 t^{10}$ .

$- 17280 t^{15} + 5940 t^{10} - 60 t^{5} - 480 t^{5} + 5$

Passaggio 10.14

Sottrai $480 t^{5}$ da $- 60 t^{5}$ .

$- 17280 t^{15} + 5940 t^{10} - 540 t^{5} + 5$