Calcolo Esempi

$H (z) = \frac{8 z - z - 3 z^{2}}{2 + 9 z}$

Passaggio 1

Sottrai $z$ da $8 z$ .

$\frac{d}{d z} [\frac{7 z - 3 z^{2}}{2 + 9 z}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d z} [\frac{f (z)}{g (z)}]$ è $\frac{g (z) \frac{d}{d z} [f (z)] - f (z) \frac{d}{d z} [g (z)]}{{g (z)}^{2}}$ dove $f (z) = 7 z - 3 z^{2}$ e $g (z) = 2 + 9 z$ .

$\frac{(2 + 9 z) \frac{d}{d z} [7 z - 3 z^{2}] - (7 z - 3 z^{2}) \frac{d}{d z} [2 + 9 z]}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 z - 3 z^{2}$ rispetto a $z$ è $\frac{d}{d z} [7 z] + \frac{d}{d z} [- 3 z^{2}]$ .

$\frac{(2 + 9 z) (\frac{d}{d z} [7 z] + \frac{d}{d z} [- 3 z^{2}]) - (7 z - 3 z^{2}) \frac{d}{d z} [2 + 9 z]}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Poiché $7$ è costante rispetto a $z$ , la derivata di $7 z$ rispetto a $z$ è $7 \frac{d}{d z} [z]$ .

$\frac{(2 + 9 z) (7 \frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 3 z^{2}]) - (7 z - 3 z^{2}) \frac{d}{d z} [2 + 9 z]}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ è $n z^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(2 + 9 z) (7 \cdot 1 + \frac{d}{d z} [- 3 z^{2}]) - (7 z - 3 z^{2}) \frac{d}{d z} [2 + 9 z]}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Moltiplica $7$ per $1$ .

$\frac{(2 + 9 z) (7 + \frac{d}{d z} [- 3 z^{2}]) - (7 z - 3 z^{2}) \frac{d}{d z} [2 + 9 z]}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $z$ , la derivata di $- 3 z^{2}$ rispetto a $z$ è $- 3 \frac{d}{d z} [z^{2}]$ .

$\frac{(2 + 9 z) (7 - 3 \frac{d}{d z} [z^{2}]) - (7 z - 3 z^{2}) \frac{d}{d z} [2 + 9 z]}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ è $n z^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(2 + 9 z) (7 - 3 (2 z)) - (7 z - 3 z^{2}) \frac{d}{d z} [2 + 9 z]}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Passaggio 3.7

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$\frac{(2 + 9 z) (7 - 6 z) - (7 z - 3 z^{2}) \frac{d}{d z} [2 + 9 z]}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Passaggio 3.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 + 9 z$ rispetto a $z$ è $\frac{d}{d z} [2] + \frac{d}{d z} [9 z]$ .

$\frac{(2 + 9 z) (7 - 6 z) - (7 z - 3 z^{2}) (\frac{d}{d z} [2] + \frac{d}{d z} [9 z])}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Passaggio 3.9

Poiché $2$ è costante rispetto a $z$ , la derivata di $2$ rispetto a $z$ è $0$ .

$\frac{(2 + 9 z) (7 - 6 z) - (7 z - 3 z^{2}) (0 + \frac{d}{d z} [9 z])}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Passaggio 3.10

Somma $0$ e $\frac{d}{d z} [9 z]$ .

$\frac{(2 + 9 z) (7 - 6 z) - (7 z - 3 z^{2}) \frac{d}{d z} [9 z]}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Passaggio 3.11

Poiché $9$ è costante rispetto a $z$ , la derivata di $9 z$ rispetto a $z$ è $9 \frac{d}{d z} [z]$ .

$\frac{(2 + 9 z) (7 - 6 z) - (7 z - 3 z^{2}) (9 \frac{d}{d z} [z])}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Passaggio 3.12

Moltiplica $9$ per $- 1$ .

$\frac{(2 + 9 z) (7 - 6 z) - 9 (7 z - 3 z^{2}) \frac{d}{d z} [z]}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Passaggio 3.13

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ è $n z^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(2 + 9 z) (7 - 6 z) - 9 (7 z - 3 z^{2}) \cdot 1}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Passaggio 3.14

Moltiplica $- 9$ per $1$ .

$\frac{(2 + 9 z) (7 - 6 z) - 9 (7 z - 3 z^{2})}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 + 9 z) (7 - 6 z) - 9 (7 z) - 9 (- 3 z^{2})}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Espandi $(2 + 9 z) (7 - 6 z)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (7 - 6 z) + 9 z (7 - 6 z) - 9 (7 z) - 9 (- 3 z^{2})}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Passaggio 4.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 \cdot 7 + 2 (- 6 z) + 9 z (7 - 6 z) - 9 (7 z) - 9 (- 3 z^{2})}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Passaggio 4.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 \cdot 7 + 2 (- 6 z) + 9 z \cdot 7 + 9 z (- 6 z) - 9 (7 z) - 9 (- 3 z^{2})}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Passaggio 4.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 4.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.2.1.1

Moltiplica $2$ per $7$ .

$\frac{14 + 2 (- 6 z) + 9 z \cdot 7 + 9 z (- 6 z) - 9 (7 z) - 9 (- 3 z^{2})}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Passaggio 4.2.1.2.1.2

Moltiplica $- 6$ per $2$ .

$\frac{14 - 12 z + 9 z \cdot 7 + 9 z (- 6 z) - 9 (7 z) - 9 (- 3 z^{2})}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Passaggio 4.2.1.2.1.3

Moltiplica $7$ per $9$ .

$\frac{14 - 12 z + 63 z + 9 z (- 6 z) - 9 (7 z) - 9 (- 3 z^{2})}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Passaggio 4.2.1.2.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{14 - 12 z + 63 z + 9 \cdot - 6 z \cdot z - 9 (7 z) - 9 (- 3 z^{2})}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Passaggio 4.2.1.2.1.5

Moltiplica $z$ per $z$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.2.1.2.1.5.1

Sposta $z$ .

$\frac{14 - 12 z + 63 z + 9 \cdot - 6 (z \cdot z) - 9 (7 z) - 9 (- 3 z^{2})}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Passaggio 4.2.1.2.1.5.2

Moltiplica $z$ per $z$ .

$\frac{14 - 12 z + 63 z + 9 \cdot - 6 z^{2} - 9 (7 z) - 9 (- 3 z^{2})}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Passaggio 4.2.1.2.1.6

Moltiplica $9$ per $- 6$ .

$\frac{14 - 12 z + 63 z - 54 z^{2} - 9 (7 z) - 9 (- 3 z^{2})}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Passaggio 4.2.1.2.2

Somma $- 12 z$ e $63 z$ .

$\frac{14 + 51 z - 54 z^{2} - 9 (7 z) - 9 (- 3 z^{2})}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Passaggio 4.2.1.3

Moltiplica $7$ per $- 9$ .

$\frac{14 + 51 z - 54 z^{2} - 63 z - 9 (- 3 z^{2})}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Passaggio 4.2.1.4

Moltiplica $- 3$ per $- 9$ .

$\frac{14 + 51 z - 54 z^{2} - 63 z + 27 z^{2}}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $63 z$ da $51 z$ .

$\frac{14 - 54 z^{2} - 12 z + 27 z^{2}}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Passaggio 4.2.3

Somma $- 54 z^{2}$ e $27 z^{2}$ .

$\frac{14 - 27 z^{2} - 12 z}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Passaggio 4.3

Riordina i termini.

$\frac{- 27 z^{2} - 12 z + 14}{{(9 z + 2)}^{2}}$

Passaggio 4.4

Scomponi $- 1$ da $- 27 z^{2}$ .

$\frac{- (27 z^{2}) - 12 z + 14}{{(9 z + 2)}^{2}}$

Passaggio 4.5

Scomponi $- 1$ da $- 12 z$ .

$\frac{- (27 z^{2}) - (12 z) + 14}{{(9 z + 2)}^{2}}$

Passaggio 4.6

Scomponi $- 1$ da $- (27 z^{2}) - (12 z)$ .

$\frac{- (27 z^{2} + 12 z) + 14}{{(9 z + 2)}^{2}}$

Passaggio 4.7

Riscrivi $14$ come $- 1 (- 14)$ .

$\frac{- (27 z^{2} + 12 z) - 1 (- 14)}{{(9 z + 2)}^{2}}$

Passaggio 4.8

Scomponi $- 1$ da $- (27 z^{2} + 12 z) - 1 (- 14)$ .

$\frac{- (27 z^{2} + 12 z - 14)}{{(9 z + 2)}^{2}}$

Passaggio 4.9

Riscrivi $- (27 z^{2} + 12 z - 14)$ come $- 1 (27 z^{2} + 12 z - 14)$ .

$\frac{- 1 (27 z^{2} + 12 z - 14)}{{(9 z + 2)}^{2}}$

Passaggio 4.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{27 z^{2} + 12 z - 14}{{(9 z + 2)}^{2}}$