Calcolo Esempi

$h (z) = \frac{1 - 2 z}{z^{2} - z - 6}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d z} [\frac{f (z)}{g (z)}]$ è $\frac{g (z) \frac{d}{d z} [f (z)] - f (z) \frac{d}{d z} [g (z)]}{{g (z)}^{2}}$ dove $f (z) = 1 - 2 z$ e $g (z) = z^{2} - z - 6$ .

$\frac{(z^{2} - z - 6) \frac{d}{d z} [1 - 2 z] - (1 - 2 z) \frac{d}{d z} [z^{2} - z - 6]}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - 2 z$ rispetto a $z$ è $\frac{d}{d z} [1] + \frac{d}{d z} [- 2 z]$ .

$\frac{(z^{2} - z - 6) (\frac{d}{d z} [1] + \frac{d}{d z} [- 2 z]) - (1 - 2 z) \frac{d}{d z} [z^{2} - z - 6]}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $z$ , la derivata di $1$ rispetto a $z$ è $0$ .

$\frac{(z^{2} - z - 6) (0 + \frac{d}{d z} [- 2 z]) - (1 - 2 z) \frac{d}{d z} [z^{2} - z - 6]}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d z} [- 2 z]$ .

$\frac{(z^{2} - z - 6) \frac{d}{d z} [- 2 z] - (1 - 2 z) \frac{d}{d z} [z^{2} - z - 6]}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $z$ , la derivata di $- 2 z$ rispetto a $z$ è $- 2 \frac{d}{d z} [z]$ .

$\frac{(z^{2} - z - 6) (- 2 \frac{d}{d z} [z]) - (1 - 2 z) \frac{d}{d z} [z^{2} - z - 6]}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ è $n z^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(z^{2} - z - 6) (- 2 \cdot 1) - (1 - 2 z) \frac{d}{d z} [z^{2} - z - 6]}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.6.1

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{(z^{2} - z - 6) \cdot - 2 - (1 - 2 z) \frac{d}{d z} [z^{2} - z - 6]}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.6.2

Sposta $- 2$ alla sinistra di $z^{2} - z - 6$ .

$\frac{- 2 \cdot (z^{2} - z - 6) - (1 - 2 z) \frac{d}{d z} [z^{2} - z - 6]}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $z^{2} - z - 6$ rispetto a $z$ è $\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [- z] + \frac{d}{d z} [- 6]$ .

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - (1 - 2 z) (\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [- z] + \frac{d}{d z} [- 6])}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ è $n z^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - (1 - 2 z) (2 z + \frac{d}{d z} [- z] + \frac{d}{d z} [- 6])}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $z$ , la derivata di $- z$ rispetto a $z$ è $- \frac{d}{d z} [z]$ .

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - (1 - 2 z) (2 z - \frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 6])}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ è $n z^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - (1 - 2 z) (2 z - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d z} [- 6])}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.11

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - (1 - 2 z) (2 z - 1 + \frac{d}{d z} [- 6])}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.12

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $z$ , la derivata di $- 6$ rispetto a $z$ è $0$ .

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - (1 - 2 z) (2 z - 1 + 0)}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.13

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 2.13.1

Somma $2 z - 1$ e $0$ .

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - (1 - 2 z) (2 z - 1)}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.13.2

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - (- 1 (- 1) - 2 z) (2 z - 1)}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.13.3

Scomponi $- 1$ da $- 2 z$ .

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - (- 1 (- 1) - (2 z)) (2 z - 1)}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.13.4

Scomponi $- 1$ da $- 1 (- 1) - (2 z)$ .

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - (- 1 (- 1 + 2 z)) (2 z - 1)}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Passaggio 2.13.5

Riordina i termini.

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - - 1 (2 z - 1) (2 z - 1)}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Passaggio 3

Eleva $2 z - 1$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - - 1 ({(2 z - 1)}^{1} (2 z - 1))}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Passaggio 4

Eleva $2 z - 1$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - - 1 ({(2 z - 1)}^{1} {(2 z - 1)}^{1})}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Passaggio 5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - - 1 {(2 z - 1)}^{1 + 1}}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Passaggio 6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - - 1 {(2 z - 1)}^{2}}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Passaggio 7

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) + 1 {(2 z - 1)}^{2}}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Passaggio 8

Moltiplica ${(2 z - 1)}^{2}$ per $1$ .

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) + {(2 z - 1)}^{2}}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 2 z^{2} - 2 (- z) - 2 \cdot - 6 + {(2 z - 1)}^{2}}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 9.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 9.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z - 2 \cdot - 6 + {(2 z - 1)}^{2}}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Passaggio 9.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $- 6$ .

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z + 12 + {(2 z - 1)}^{2}}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Passaggio 9.2.1.3

Riscrivi ${(2 z - 1)}^{2}$ come $(2 z - 1) (2 z - 1)$ .

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z + 12 + (2 z - 1) (2 z - 1)}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Passaggio 9.2.1.4

Espandi $(2 z - 1) (2 z - 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 9.2.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z + 12 + 2 z (2 z - 1) - 1 (2 z - 1)}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Passaggio 9.2.1.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z + 12 + 2 z (2 z) + 2 z \cdot - 1 - 1 (2 z - 1)}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Passaggio 9.2.1.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z + 12 + 2 z (2 z) + 2 z \cdot - 1 - 1 (2 z) - 1 \cdot - 1}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Passaggio 9.2.1.5

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 9.2.1.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 9.2.1.5.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z + 12 + 2 \cdot 2 z \cdot z + 2 z \cdot - 1 - 1 (2 z) - 1 \cdot - 1}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Passaggio 9.2.1.5.1.2

Moltiplica $z$ per $z$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 9.2.1.5.1.2.1

Sposta $z$ .

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z + 12 + 2 \cdot 2 (z \cdot z) + 2 z \cdot - 1 - 1 (2 z) - 1 \cdot - 1}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Passaggio 9.2.1.5.1.2.2

Moltiplica $z$ per $z$ .

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z + 12 + 2 \cdot 2 z^{2} + 2 z \cdot - 1 - 1 (2 z) - 1 \cdot - 1}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Passaggio 9.2.1.5.1.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z + 12 + 4 z^{2} + 2 z \cdot - 1 - 1 (2 z) - 1 \cdot - 1}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Passaggio 9.2.1.5.1.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z + 12 + 4 z^{2} - 2 z - 1 (2 z) - 1 \cdot - 1}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Passaggio 9.2.1.5.1.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z + 12 + 4 z^{2} - 2 z - 2 z - 1 \cdot - 1}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Passaggio 9.2.1.5.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z + 12 + 4 z^{2} - 2 z - 2 z + 1}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Passaggio 9.2.1.5.2

Sottrai $2 z$ da $- 2 z$ .

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z + 12 + 4 z^{2} - 4 z + 1}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Passaggio 9.2.2

Somma $- 2 z^{2}$ e $4 z^{2}$ .

$\frac{2 z^{2} + 2 z + 12 - 4 z + 1}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Passaggio 9.2.3

Sottrai $4 z$ da $2 z$ .

$\frac{2 z^{2} - 2 z + 12 + 1}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Passaggio 9.2.4

Somma $12$ e $1$ .

$\frac{2 z^{2} - 2 z + 13}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Passaggio 9.3

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 9.3.1

Scomponi $z^{2} - z - 6$ usando il metodo AC.

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Passaggio 9.3.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 6$ e la cui somma è $- 1$ .

$- 3, 2$

Passaggio 9.3.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$\frac{2 z^{2} - 2 z + 13}{{((z - 3) (z + 2))}^{2}}$

Passaggio 9.3.2

Applica la regola del prodotto a $(z - 3) (z + 2)$ .

$\frac{2 z^{2} - 2 z + 13}{{(z - 3)}^{2} {(z + 2)}^{2}}$