Calcolo Esempi

$q (x) = 8 (\sqrt{\frac{5 (\sin (x))}{3}}) - \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 (\sqrt{\frac{5 (\sin (x))}{3}}) - \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [8 (\sqrt{\frac{5 (\sin (x))}{3}})] + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$ .

$\frac{d}{d x} [8 (\sqrt{\frac{5 (\sin (x))}{3}})] + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [8 (\sqrt{\frac{5 (\sin (x))}{3}})]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{\frac{5 \sin (x)}{3}}$ come ${(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [8 {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Passaggio 2.2

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [{(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [{(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = \frac{5 \sin (x)}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\frac{5 \sin (x)}{3}$ .

$8 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{5 \sin (x)}{3}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{5 \sin (x)}{3}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Passaggio 2.4

Poiché $\frac{5}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{5 \sin (x)}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{5}{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$8 (\frac{1}{2} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{5}{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)])) + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Passaggio 2.5

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$8 (\frac{1}{2} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{5}{3} \cos (x))) + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Passaggio 2.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (\frac{5}{3} \cos (x))) + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Passaggio 2.7

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (\frac{5}{3} \cos (x))) + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Passaggio 2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$8 (\frac{1}{2} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (\frac{5}{3} \cos (x))) + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Passaggio 2.9

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.9.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$8 (\frac{1}{2} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{\frac{1 - 2}{2}} (\frac{5}{3} \cos (x))) + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Passaggio 2.9.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$8 (\frac{1}{2} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{\frac{- 1}{2}} (\frac{5}{3} \cos (x))) + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Passaggio 2.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$8 (\frac{1}{2} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} (\frac{5}{3} \cos (x))) + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Passaggio 2.11

$\frac{5}{3}$ e $\cos (x)$ .

$8 (\frac{1}{2} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{5 \cos (x)}{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Passaggio 2.12

Moltiplica $\frac{5 \cos (x)}{3}$ per $\frac{1}{2}$ .

$8 (\frac{5 \cos (x)}{3 \cdot 2} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Passaggio 2.13

Moltiplica $3$ per $2$ .

$8 (\frac{5 \cos (x)}{6} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Passaggio 2.14

$\frac{5 \cos (x)}{6}$ e $8$ .

$\frac{5 \cos (x) \cdot 8}{6} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Passaggio 2.15

Moltiplica $8$ per $5$ .

$\frac{40 \cos (x)}{6} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Passaggio 2.16

Elimina il fattore comune di $40$ e $6$ .

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Passaggio 2.16.1

Scomponi $2$ da $40 \cos (x)$ .

$\frac{2 (20 \cos (x))}{6} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Passaggio 2.16.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.16.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{2 (20 \cos (x))}{2 (3)} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Passaggio 2.16.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (20 \cos (x))}{2 \cdot 3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Passaggio 2.16.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$ .

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Passaggio 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{5 \cos (x)}$ come ${(5 \cos (x))}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{{(5 \cos (x))}^{\frac{1}{3}}}{7}]$

Passaggio 3.2

Scomponi $5$ da $5 \cos (x)$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{{(5 (\cos (x)))}^{\frac{1}{3}}}{7}]$

Passaggio 3.3

Applica la regola del prodotto a $5 (\cos (x))$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5^{\frac{1}{3}} {\cos (x)}^{\frac{1}{3}}}{7}]$

Passaggio 3.4

Poiché $- \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{5^{\frac{1}{3}} {\cos (x)}^{\frac{1}{3}}}{7}$ rispetto a $x$ è $- \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} \frac{d}{d x} [{\cos (x)}^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} \frac{d}{d x} [{\cos (x)}^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\cos (x)$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 3.5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 3.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\cos (x)$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} (\frac{1}{3} {\cos (x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 3.6

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} (\frac{1}{3} {\cos (x)}^{\frac{1}{3} - 1} (- \sin (x)))$

Passaggio 3.7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} (\frac{1}{3} {\cos (x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (- \sin (x)))$

Passaggio 3.8

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} (\frac{1}{3} {\cos (x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (- \sin (x)))$

Passaggio 3.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} (\frac{1}{3} {\cos (x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (- \sin (x)))$

Passaggio 3.10

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.10.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} (\frac{1}{3} {\cos (x)}^{\frac{1 - 3}{3}} (- \sin (x)))$

Passaggio 3.10.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} (\frac{1}{3} {\cos (x)}^{\frac{- 2}{3}} (- \sin (x)))$

Passaggio 3.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} (\frac{1}{3} {\cos (x)}^{- \frac{2}{3}} (- \sin (x)))$

Passaggio 3.12

$\frac{1}{3}$ e ${\cos (x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} (\frac{{\cos (x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} (- \sin (x)))$

Passaggio 3.13

$\frac{{\cos (x)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ e $\sin (x)$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} (- \frac{{\cos (x)}^{- \frac{2}{3}} \sin (x)}{3})$

Passaggio 3.14

Sposta ${\cos (x)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} (- \frac{\sin (x)}{3 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 3.15

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} + 1 \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} \frac{\sin (x)}{3 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.16

Moltiplica $\frac{5^{\frac{1}{3}}}{7}$ per $1$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} \cdot \frac{\sin (x)}{3 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3.17

Moltiplica $\frac{5^{\frac{1}{3}}}{7}$ per $\frac{\sin (x)}{3 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{5^{\frac{1}{3}} \sin (x)}{7 (3 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}})}$

Passaggio 3.18

Moltiplica $3$ per $7$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{5^{\frac{1}{3}} \sin (x)}{21 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4

Cambia il segno dell'esponente riscrivendo la base come il suo reciproco.

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{3}{5 \sin (x)})}^{\frac{1}{2}} + \frac{5^{\frac{1}{3}} \sin (x)}{21 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{5 \sin (x)}$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} \cdot \frac{3^{\frac{1}{2}}}{{(5 \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} + \frac{5^{\frac{1}{3}} \sin (x)}{21 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.2

Applica la regola del prodotto a $5 \sin (x)$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} \cdot \frac{3^{\frac{1}{2}}}{5^{\frac{1}{2}} {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{5^{\frac{1}{3}} \sin (x)}{21 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 5.3.1

Moltiplica $\frac{20 \cos (x)}{3}$ per $\frac{3^{\frac{1}{2}}}{5^{\frac{1}{2}} {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{20 \cos (x) \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{3 (5^{\frac{1}{2}} {\sin (x)}^{\frac{1}{2}})} + \frac{5^{\frac{1}{3}} \sin (x)}{21 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.3.2

Sposta $3^{\frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3 \cdot 5^{\frac{1}{2}} {\sin (x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{- \frac{1}{2}}} + \frac{5^{\frac{1}{3}} \sin (x)}{21 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.3.3

Moltiplica $3$ per $3^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.3.3.1

Sposta $3^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3^{- \frac{1}{2}} \cdot 3 \cdot 5^{\frac{1}{2}} {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{5^{\frac{1}{3}} \sin (x)}{21 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.3.3.2

Moltiplica $3^{- \frac{1}{2}}$ per $3$ .

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Passaggio 5.3.3.2.1

Eleva $3$ alla potenza di $1$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3^{- \frac{1}{2}} \cdot 3^{1} \cdot 5^{\frac{1}{2}} {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{5^{\frac{1}{3}} \sin (x)}{21 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.3.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{20 \cos (x)}{3^{- \frac{1}{2} + 1} \cdot 5^{\frac{1}{2}} {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{5^{\frac{1}{3}} \sin (x)}{21 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.3.3.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{20 \cos (x)}{3^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \cdot 5^{\frac{1}{2}} {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{5^{\frac{1}{3}} \sin (x)}{21 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.3.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{20 \cos (x)}{3^{\frac{- 1 + 2}{2}} \cdot 5^{\frac{1}{2}} {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{5^{\frac{1}{3}} \sin (x)}{21 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.3.3.5

Somma $- 1$ e $2$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3^{\frac{1}{2}} \cdot 5^{\frac{1}{2}} {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{5^{\frac{1}{3}} \sin (x)}{21 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$